Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58872 / 37766
↖ ↑ ↗
← N 60.405715°
W 18.303223°		 ← 150.84 m → N 60.405715°
W 18.300476°		 →
↑
150.80 m
↓
↑
150.80 m
↓
N 60.404359°
W 18.303223°		 ← 150.84 m →
22 747 m²		 N 60.404359°
W 18.300476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449161529541016 y=0.288135528564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449161529541016 × 217)
    floor (0.449161529541016 × 131072)
    floor (58872.5)     		tx = 58872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288135528564453 × 217)
    floor (0.288135528564453 × 131072)
    floor (37766.5)     		ty = 37766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58872 / 37766 ti = "17/58872/37766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58872/37766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58872 ÷ 217
    58872 ÷ 131072     		x = 0.44915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37766 ÷ 217
    37766 ÷ 131072     		y = 0.288131713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44915771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1016845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31945150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288131713867188 × 2 - 1) × π
    0.423736572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.33120770244896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31945150} λ = -0.31945150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33120770244896))-π/2
    2×atan(3.7856125214493)-π/2
    2×1.31253746928098-π/2
    2.62507493856196-1.57079632675     		φ = 1.05427861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31945150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.303223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05427861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.405715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58872 KachelY 37766 -0.31945150 1.05427861 -18.303223 60.405715
    Oben rechts KachelX + 1 58873 KachelY 37766 -0.31940356 1.05427861 -18.300476 60.405715
    Unten links KachelX 58872 KachelY + 1 37767 -0.31945150 1.05425494 -18.303223 60.404359
    Unten rechts KachelX + 1 58873 KachelY + 1 37767 -0.31940356 1.05425494 -18.300476 60.404359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05427861-1.05425494) × R
    2.36699999998091e-05 × 6371000     		dl = 150.801569998784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05427861-1.05425494) × R
    2.36699999998091e-05 × 6371000     		dr = 150.801569998784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31945150--0.31940356) × cos(1.05427861) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.493855139142021 × 6371000     		do = 150.836071325331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31945150--0.31940356) × cos(1.05425494) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.493875721114694 × 6371000     		du = 150.842357589565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05427861)-sin(1.05425494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493855139142021-0.493875721114694)×R²
    abs(-0.31940356--0.31945150)×2.05819726726841e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.05819726726841e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.05819726726841e-05×40589641000000     		ar = 22746.7903585311m²