Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58871 / 45947
↖ ↑ ↗
← N 47.288545°
W 18.305969°		 ← 207.17 m → N 47.288545°
W 18.303223°		 →
↑
207.18 m
↓
↑
207.18 m
↓
N 47.286682°
W 18.305969°		 ← 207.18 m →
42 924 m²		 N 47.286682°
W 18.303223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449153900146484 y=0.350551605224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449153900146484 × 217)
    floor (0.449153900146484 × 131072)
    floor (58871.5)     		tx = 58871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350551605224609 × 217)
    floor (0.350551605224609 × 131072)
    floor (45947.5)     		ty = 45947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58871 / 45947 ti = "17/58871/45947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58871/45947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58871 ÷ 217
    58871 ÷ 131072     		x = 0.449150085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45947 ÷ 217
    45947 ÷ 131072     		y = 0.350547790527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449150085449219 × 2 - 1) × π
    -0.101699829101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.31949944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350547790527344 × 2 - 1) × π
    0.298904418945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.93903592665728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31949944} λ = -0.31949944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93903592665728))-π/2
    2×atan(2.55751459777503)-π/2
    2×1.1980685672831-π/2
    2.39613713456621-1.57079632675     		φ = 0.82534081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31949944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.305969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82534081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.288545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58871 KachelY 45947 -0.31949944 0.82534081 -18.305969 47.288545
    Oben rechts KachelX + 1 58872 KachelY 45947 -0.31945150 0.82534081 -18.303223 47.288545
    Unten links KachelX 58871 KachelY + 1 45948 -0.31949944 0.82530829 -18.305969 47.286682
    Unten rechts KachelX + 1 58872 KachelY + 1 45948 -0.31945150 0.82530829 -18.303223 47.286682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82534081-0.82530829) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dl = 207.184919999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82534081-0.82530829) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dr = 207.184919999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31949944--0.31945150) × cos(0.82534081) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.678306584991329 × 6371000     		do = 207.172290667954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31949944--0.31945150) × cos(0.82530829) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.678330479645687 × 6371000     		du = 207.179588710443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82534081)-sin(0.82530829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678306584991329-0.678330479645687)×R²
    abs(-0.31945150--0.31949944)×2.38946543579255e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38946543579255e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38946543579255e-05×40589641000000     		ar = 42923.7304941462m²