Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58871 / 37769
↖ ↑ ↗
← N 60.401646°
W 18.305969°		 ← 150.85 m → N 60.401646°
W 18.303223°		 →
↑
150.87 m
↓
↑
150.87 m
↓
N 60.400289°
W 18.305969°		 ← 150.86 m →
22 759 m²		 N 60.400289°
W 18.303223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449153900146484 y=0.288158416748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449153900146484 × 217)
    floor (0.449153900146484 × 131072)
    floor (58871.5)     		tx = 58871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288158416748047 × 217)
    floor (0.288158416748047 × 131072)
    floor (37769.5)     		ty = 37769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58871 / 37769 ti = "17/58871/37769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58871/37769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58871 ÷ 217
    58871 ÷ 131072     		x = 0.449150085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37769 ÷ 217
    37769 ÷ 131072     		y = 0.288154602050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449150085449219 × 2 - 1) × π
    -0.101699829101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.31949944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288154602050781 × 2 - 1) × π
    0.423690795898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.3310638917501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31949944} λ = -0.31949944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3310638917501))-π/2
    2×atan(3.78506814901121)-π/2
    2×1.31250195623437-π/2
    2.62500391246874-1.57079632675     		φ = 1.05420759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31949944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.305969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05420759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.401646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58871 KachelY 37769 -0.31949944 1.05420759 -18.305969 60.401646
    Oben rechts KachelX + 1 58872 KachelY 37769 -0.31945150 1.05420759 -18.303223 60.401646
    Unten links KachelX 58871 KachelY + 1 37770 -0.31949944 1.05418391 -18.305969 60.400289
    Unten rechts KachelX + 1 58872 KachelY + 1 37770 -0.31945150 1.05418391 -18.303223 60.400289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05420759-1.05418391) × R
    2.36800000001924e-05 × 6371000     		dl = 150.865280001226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05420759-1.05418391) × R
    2.36800000001924e-05 × 6371000     		dr = 150.865280001226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31949944--0.31945150) × cos(1.05420759) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.49391689292501 × 6371000     		do = 150.854932520198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31949944--0.31945150) × cos(1.05418391) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.493937482762396 × 6371000     		du = 150.861221186518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05420759)-sin(1.05418391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.49391689292501-0.493937482762396)×R²
    abs(-0.31945150--0.31949944)×2.05898373860647e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.05898373860647e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.05898373860647e-05×40589641000000     		ar = 22759.2460061749m²