Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58871 / 31188
↖ ↑ ↗
← N 68.183807°
W 18.305969°		 ← 113.51 m → N 68.183807°
W 18.303223°		 →
↑
113.53 m
↓
↑
113.53 m
↓
N 68.182786°
W 18.305969°		 ← 113.51 m →
12 887 m²		 N 68.182786°
W 18.303223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449153900146484 y=0.237949371337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449153900146484 × 217)
    floor (0.449153900146484 × 131072)
    floor (58871.5)     		tx = 58871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237949371337891 × 217)
    floor (0.237949371337891 × 131072)
    floor (31188.5)     		ty = 31188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58871 / 31188 ti = "17/58871/31188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58871/31188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58871 ÷ 217
    58871 ÷ 131072     		x = 0.449150085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31188 ÷ 217
    31188 ÷ 131072     		y = 0.237945556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449150085449219 × 2 - 1) × π
    -0.101699829101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.31949944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237945556640625 × 2 - 1) × π
    0.52410888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64653662814969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31949944} λ = -0.31949944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64653662814969))-π/2
    2×atan(5.18897731251744)-π/2
    2×1.38041412785284-π/2
    2.76082825570567-1.57079632675     		φ = 1.19003193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31949944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.305969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19003193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.183807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58871 KachelY 31188 -0.31949944 1.19003193 -18.305969 68.183807
    Oben rechts KachelX + 1 58872 KachelY 31188 -0.31945150 1.19003193 -18.303223 68.183807
    Unten links KachelX 58871 KachelY + 1 31189 -0.31949944 1.19001411 -18.305969 68.182786
    Unten rechts KachelX + 1 58872 KachelY + 1 31189 -0.31945150 1.19001411 -18.303223 68.182786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19003193-1.19001411) × R
    1.78200000000572e-05 × 6371000     		dl = 113.531220000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19003193-1.19001411) × R
    1.78200000000572e-05 × 6371000     		dr = 113.531220000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31949944--0.31945150) × cos(1.19003193) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.371630229249955 × 6371000     		do = 113.505437775094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31949944--0.31945150) × cos(1.19001411) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.371646772937408 × 6371000     		du = 113.510490643077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19003193)-sin(1.19001411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371630229249955-0.371646772937408)×R²
    abs(-0.31945150--0.31949944)×1.65436874528524e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.65436874528524e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.65436874528524e-05×40589641000000     		ar = 12886.6976567847m²