Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5887 / 6901
↖ ↑ ↗
← N 27.274161°
W 50.646973°		 ← 2 171.64 m → N 27.274161°
W 50.625000°		 →
↑
2 171.81 m
↓
↑
2 171.81 m
↓
N 27.254629°
W 50.646973°		 ← 2 172.03 m →
4 716 814 m²		 N 27.254629°
W 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359344482421875 y=0.421234130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359344482421875 × 214)
    floor (0.359344482421875 × 16384)
    floor (5887.5)     		tx = 5887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421234130859375 × 214)
    floor (0.421234130859375 × 16384)
    floor (6901.5)     		ty = 6901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5887 / 6901 ti = "14/5887/6901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5887/6901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5887 ÷ 214
    5887 ÷ 16384     		x = 0.35931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6901 ÷ 214
    6901 ÷ 16384     		y = 0.42120361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35931396484375 × 2 - 1) × π
    -0.2813720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88395643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42120361328125 × 2 - 1) × π
    0.1575927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.49509229927594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88395643} λ = -0.88395643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.49509229927594))-π/2
    2×atan(1.64064966284474)-π/2
    2×1.02341011949996-π/2
    2.04682023899992-1.57079632675     		φ = 0.47602391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88395643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47602391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.274161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5887 KachelY 6901 -0.88395643 0.47602391 -50.646973 27.274161
    Oben rechts KachelX + 1 5888 KachelY 6901 -0.88357293 0.47602391 -50.625000 27.274161
    Unten links KachelX 5887 KachelY + 1 6902 -0.88395643 0.47568302 -50.646973 27.254629
    Unten rechts KachelX + 1 5888 KachelY + 1 6902 -0.88357293 0.47568302 -50.625000 27.254629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47602391-0.47568302) × R
    0.000340889999999983 × 6371000     		dl = 2171.81018999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47602391-0.47568302) × R
    0.000340889999999983 × 6371000     		dr = 2171.81018999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88395643--0.88357293) × cos(0.47602391) × R
    0.000383499999999981 × 0.888823982132031 × 6371000     		do = 2171.64452582747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88395643--0.88357293) × cos(0.47568302) × R
    0.000383499999999981 × 0.888980142906488 × 6371000     		du = 2172.02607009024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47602391)-sin(0.47568302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888823982132031-0.888980142906488)×R²
    abs(-0.88357293--0.88395643)×0.000156160774456349×R²
    0.000383499999999981×0.000156160774456349×6371000²
    0.000383499999999981×0.000156160774456349×40589641000000     		ar = 4716814.07678573m²