Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5887 / 2816
↖ ↑ ↗
← N 81.518272°
W115.323486°		 ← 180.18 m → N 81.518272°
W115.312500°		 →
↑
180.17 m
↓
↑
180.17 m
↓
N 81.516651°
W115.323486°		 ← 180.22 m →
32 467 m²		 N 81.516651°
W115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179672241210938 y=0.0859527587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179672241210938 × 215)
    floor (0.179672241210938 × 32768)
    floor (5887.5)     		tx = 5887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0859527587890625 × 215)
    floor (0.0859527587890625 × 32768)
    floor (2816.5)     		ty = 2816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5887 / 2816 ti = "15/5887/2816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5887/2816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5887 ÷ 215
    5887 ÷ 32768     		x = 0.179656982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2816 ÷ 215
    2816 ÷ 32768     		y = 0.0859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179656982421875 × 2 - 1) × π
    -0.64068603515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.01277454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0859375 × 2 - 1) × π
    0.828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60163141617969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01277454} λ = -2.01277454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60163141617969))-π/2
    2×atan(13.485720921814)-π/2
    2×1.49677928578267-π/2
    2.99355857156534-1.57079632675     		φ = 1.42276224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01277454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.323486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42276224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.518272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5887 KachelY 2816 -2.01277454 1.42276224 -115.323486 81.518272
    Oben rechts KachelX + 1 5888 KachelY 2816 -2.01258279 1.42276224 -115.312500 81.518272
    Unten links KachelX 5887 KachelY + 1 2817 -2.01277454 1.42273396 -115.323486 81.516651
    Unten rechts KachelX + 1 5888 KachelY + 1 2817 -2.01258279 1.42273396 -115.312500 81.516651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42276224-1.42273396) × R
    2.82799999999916e-05 × 6371000     		dl = 180.171879999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42276224-1.42273396) × R
    2.82799999999916e-05 × 6371000     		dr = 180.171879999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01277454--2.01258279) × cos(1.42276224) × R
    0.000191749999999935 × 0.147494006831501 × 6371000     		do = 180.184467885069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01277454--2.01258279) × cos(1.42273396) × R
    0.000191749999999935 × 0.147521977472728 × 6371000     		du = 180.218637918239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42276224)-sin(1.42273396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147494006831501-0.147521977472728)×R²
    abs(-2.01258279--2.01277454)×2.79706412265601e-05×R²
    0.000191749999999935×2.79706412265601e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.79706412265601e-05×40589641000000     		ar = 32467.2525669223m²