Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5887 / 1793
↖ ↑ ↗
← N 83.024885°
W115.323486°		 ← 148.35 m → N 83.024885°
W115.312500°		 →
↑
148.38 m
↓
↑
148.38 m
↓
N 83.023550°
W115.323486°		 ← 148.38 m →
22 015 m²		 N 83.023550°
W115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179672241210938 y=0.0547332763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179672241210938 × 215)
    floor (0.179672241210938 × 32768)
    floor (5887.5)     		tx = 5887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0547332763671875 × 215)
    floor (0.0547332763671875 × 32768)
    floor (1793.5)     		ty = 1793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5887 / 1793 ti = "15/5887/1793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5887/1793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5887 ÷ 215
    5887 ÷ 32768     		x = 0.179656982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1793 ÷ 215
    1793 ÷ 32768     		y = 0.054718017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179656982421875 × 2 - 1) × π
    -0.64068603515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.01277454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.054718017578125 × 2 - 1) × π
    0.89056396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.79778920942496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01277454} λ = -2.01277454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.79778920942496))-π/2
    2×atan(16.4083312587931)-π/2
    2×1.50992696399139-π/2
    3.01985392798279-1.57079632675     		φ = 1.44905760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01277454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.323486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44905760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.024885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5887 KachelY 1793 -2.01277454 1.44905760 -115.323486 83.024885
    Oben rechts KachelX + 1 5888 KachelY 1793 -2.01258279 1.44905760 -115.312500 83.024885
    Unten links KachelX 5887 KachelY + 1 1794 -2.01277454 1.44903431 -115.323486 83.023550
    Unten rechts KachelX + 1 5888 KachelY + 1 1794 -2.01258279 1.44903431 -115.312500 83.023550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44905760-1.44903431) × R
    2.32899999998981e-05 × 6371000     		dl = 148.380589999351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44905760-1.44903431) × R
    2.32899999998981e-05 × 6371000     		dr = 148.380589999351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01277454--2.01258279) × cos(1.44905760) × R
    0.000191749999999935 × 0.121438248441322 × 6371000     		do = 148.35373074712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01277454--2.01258279) × cos(1.44903431) × R
    0.000191749999999935 × 0.121461366038825 × 6371000     		du = 148.381972111595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44905760)-sin(1.44903431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.121438248441322-0.121461366038825)×R²
    abs(-2.01258279--2.01277454)×2.31175975026338e-05×R²
    0.000191749999999935×2.31175975026338e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.31175975026338e-05×40589641000000     		ar = 22014.9093331107m²