Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58869 / 45173
↖ ↑ ↗
← N 48.710900°
W 18.311462°		 ← 201.54 m → N 48.710900°
W 18.308716°		 →
↑
201.51 m
↓
↑
201.51 m
↓
N 48.709088°
W 18.311462°		 ← 201.55 m →
40 614 m²		 N 48.709088°
W 18.308716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449138641357422 y=0.344646453857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449138641357422 × 217)
    floor (0.449138641357422 × 131072)
    floor (58869.5)     		tx = 58869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344646453857422 × 217)
    floor (0.344646453857422 × 131072)
    floor (45173.5)     		ty = 45173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58869 / 45173 ti = "17/58869/45173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58869/45173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58869 ÷ 217
    58869 ÷ 131072     		x = 0.449134826660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45173 ÷ 217
    45173 ÷ 131072     		y = 0.344642639160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449134826660156 × 2 - 1) × π
    -0.101730346679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.31959531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344642639160156 × 2 - 1) × π
    0.310714721679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.976139086963203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31959531} λ = -0.31959531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.976139086963203))-π/2
    2×atan(2.65418884161322)-π/2
    2×1.2104809589442-π/2
    2.42096191788839-1.57079632675     		φ = 0.85016559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31959531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.311462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85016559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.710900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58869 KachelY 45173 -0.31959531 0.85016559 -18.311462 48.710900
    Oben rechts KachelX + 1 58870 KachelY 45173 -0.31954737 0.85016559 -18.308716 48.710900
    Unten links KachelX 58869 KachelY + 1 45174 -0.31959531 0.85013396 -18.311462 48.709088
    Unten rechts KachelX + 1 58870 KachelY + 1 45174 -0.31954737 0.85013396 -18.308716 48.709088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85016559-0.85013396) × R
    3.16300000000602e-05 × 6371000     		dl = 201.514730000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85016559-0.85013396) × R
    3.16300000000602e-05 × 6371000     		dr = 201.514730000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31959531--0.31954737) × cos(0.85016559) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659858732314879 × 6371000     		do = 201.537841612835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31959531--0.31954737) × cos(0.85013396) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659882498440419 × 6371000     		du = 201.545100399315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85016559)-sin(0.85013396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659858732314879-0.659882498440419)×R²
    abs(-0.31954737--0.31959531)×2.37661255402255e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37661255402255e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37661255402255e-05×40589641000000     		ar = 40613.5751170073m²