Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58868 / 31180
↖ ↑ ↗
← N 68.191971°
W 18.314209°		 ← 113.47 m → N 68.191971°
W 18.311462°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
N 68.190951°
W 18.314209°		 ← 113.47 m →
12 875 m²		 N 68.190951°
W 18.311462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449131011962891 y=0.237888336181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449131011962891 × 217)
    floor (0.449131011962891 × 131072)
    floor (58868.5)     		tx = 58868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237888336181641 × 217)
    floor (0.237888336181641 × 131072)
    floor (31180.5)     		ty = 31180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58868 / 31180 ti = "17/58868/31180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58868/31180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58868 ÷ 217
    58868 ÷ 131072     		x = 0.449127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31180 ÷ 217
    31180 ÷ 131072     		y = 0.237884521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.10174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31964325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237884521484375 × 2 - 1) × π
    0.52423095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.64692012334665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31964325} λ = -0.31964325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64692012334665))-π/2
    2×atan(5.19096764201044)-π/2
    2×1.38048537437308-π/2
    2.76097074874616-1.57079632675     		φ = 1.19017442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31964325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.314209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19017442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.191971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58868 KachelY 31180 -0.31964325 1.19017442 -18.314209 68.191971
    Oben rechts KachelX + 1 58869 KachelY 31180 -0.31959531 1.19017442 -18.311462 68.191971
    Unten links KachelX 58868 KachelY + 1 31181 -0.31964325 1.19015661 -18.314209 68.190951
    Unten rechts KachelX + 1 58869 KachelY + 1 31181 -0.31959531 1.19015661 -18.311462 68.190951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19017442-1.19015661) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dl = 113.467509999337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19017442-1.19015661) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dr = 113.467509999337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31964325--0.31959531) × cos(1.19017442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371497940492706 × 6371000     		do = 113.465033383386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31964325--0.31959531) × cos(1.19015661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371514475839373 × 6371000     		du = 113.470083703878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19017442)-sin(1.19015661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371497940492706-0.371514475839373)×R²
    abs(-0.31959531--0.31964325)×1.65353466671236e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65353466671236e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65353466671236e-05×40589641000000     		ar = 12874.8813339423m²