Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58863 / 39437
↖ ↑ ↗
← N 58.058991°
W 18.327942°		 ← 161.58 m → N 58.058991°
W 18.325195°		 →
↑
161.57 m
↓
↑
161.57 m
↓
N 58.057538°
W 18.327942°		 ← 161.59 m →
26 107 m²		 N 58.057538°
W 18.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449092864990234 y=0.300884246826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449092864990234 × 217)
    floor (0.449092864990234 × 131072)
    floor (58863.5)     		tx = 58863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300884246826172 × 217)
    floor (0.300884246826172 × 131072)
    floor (39437.5)     		ty = 39437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58863 / 39437 ti = "17/58863/39437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58863/39437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58863 ÷ 217
    58863 ÷ 131072     		x = 0.449089050292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39437 ÷ 217
    39437 ÷ 131072     		y = 0.300880432128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449089050292969 × 2 - 1) × π
    -0.101821899414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.31988293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300880432128906 × 2 - 1) × π
    0.398239135742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.25110514318385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31988293} λ = -0.31988293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25110514318385))-π/2
    2×atan(3.49420241842624)-π/2
    2×1.29205844337855-π/2
    2.5841168867571-1.57079632675     		φ = 1.01332056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31988293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.327942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01332056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.058991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58863 KachelY 39437 -0.31988293 1.01332056 -18.327942 58.058991
    Oben rechts KachelX + 1 58864 KachelY 39437 -0.31983499 1.01332056 -18.325195 58.058991
    Unten links KachelX 58863 KachelY + 1 39438 -0.31988293 1.01329520 -18.327942 58.057538
    Unten rechts KachelX + 1 58864 KachelY + 1 39438 -0.31983499 1.01329520 -18.325195 58.057538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01332056-1.01329520) × R
    2.53599999999743e-05 × 6371000     		dl = 161.568559999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01332056-1.01329520) × R
    2.53599999999743e-05 × 6371000     		dr = 161.568559999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31988293--0.31983499) × cos(1.01332056) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.529045838414849 × 6371000     		do = 161.584216691857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31988293--0.31983499) × cos(1.01329520) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.529067358569498 × 6371000     		du = 161.590789501015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01332056)-sin(1.01329520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529045838414849-0.529067358569498)×R²
    abs(-0.31983499--0.31988293)×2.15201546489574e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15201546489574e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15201546489574e-05×40589641000000     		ar = 26107.4601905314m²