Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58861 / 45997
↖ ↑ ↗
← N 47.195312°
W 18.333435°		 ← 207.49 m → N 47.195312°
W 18.330689°		 →
↑
207.50 m
↓
↑
207.50 m
↓
N 47.193446°
W 18.333435°		 ← 207.50 m →
43 056 m²		 N 47.193446°
W 18.330689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449077606201172 y=0.350933074951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449077606201172 × 217)
    floor (0.449077606201172 × 131072)
    floor (58861.5)     		tx = 58861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350933074951172 × 217)
    floor (0.350933074951172 × 131072)
    floor (45997.5)     		ty = 45997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58861 / 45997 ti = "17/58861/45997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58861/45997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58861 ÷ 217
    58861 ÷ 131072     		x = 0.449073791503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45997 ÷ 217
    45997 ÷ 131072     		y = 0.350929260253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449073791503906 × 2 - 1) × π
    -0.101852416992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31997880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350929260253906 × 2 - 1) × π
    0.298141479492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.936639081676277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31997880} λ = -0.31997880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936639081676277))-π/2
    2×atan(2.55139197217088)-π/2
    2×1.19725495353464-π/2
    2.39450990706927-1.57079632675     		φ = 0.82371358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31997880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.333435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82371358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.195312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58861 KachelY 45997 -0.31997880 0.82371358 -18.333435 47.195312
    Oben rechts KachelX + 1 58862 KachelY 45997 -0.31993087 0.82371358 -18.330689 47.195312
    Unten links KachelX 58861 KachelY + 1 45998 -0.31997880 0.82368101 -18.333435 47.193446
    Unten rechts KachelX + 1 58862 KachelY + 1 45998 -0.31993087 0.82368101 -18.330689 47.193446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82371358-0.82368101) × R
    3.25699999998985e-05 × 6371000     		dl = 207.503469999353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82371358-0.82368101) × R
    3.25699999998985e-05 × 6371000     		dr = 207.503469999353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31997880--0.31993087) × cos(0.82371358) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.67950134085737 × 6371000     		do = 207.493908832055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31997880--0.31993087) × cos(0.82368101) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679525236267782 × 6371000     		du = 207.501205583086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82371358)-sin(0.82368101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67950134085737-0.679525236267782)×R²
    abs(-0.31993087--0.31997880)×2.38954104120337e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38954104120337e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38954104120337e-05×40589641000000     		ar = 43056.4631408344m²