Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58861 / 31285
↖ ↑ ↗
← N 68.084584°
W 18.333435°		 ← 113.97 m → N 68.084584°
W 18.330689°		 →
↑
113.98 m
↓
↑
113.98 m
↓
N 68.083559°
W 18.333435°		 ← 113.98 m →
12 991 m²		 N 68.083559°
W 18.330689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449077606201172 y=0.238689422607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449077606201172 × 217)
    floor (0.449077606201172 × 131072)
    floor (58861.5)     		tx = 58861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238689422607422 × 217)
    floor (0.238689422607422 × 131072)
    floor (31285.5)     		ty = 31285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58861 / 31285 ti = "17/58861/31285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58861/31285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58861 ÷ 217
    58861 ÷ 131072     		x = 0.449073791503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31285 ÷ 217
    31285 ÷ 131072     		y = 0.238685607910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449073791503906 × 2 - 1) × π
    -0.101852416992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31997880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238685607910156 × 2 - 1) × π
    0.522628784179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.64188674888654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31997880} λ = -0.31997880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64188674888654))-π/2
    2×atan(5.1649052040866)-π/2
    2×1.37954824282659-π/2
    2.75909648565318-1.57079632675     		φ = 1.18830016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31997880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.333435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18830016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.084584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58861 KachelY 31285 -0.31997880 1.18830016 -18.333435 68.084584
    Oben rechts KachelX + 1 58862 KachelY 31285 -0.31993087 1.18830016 -18.330689 68.084584
    Unten links KachelX 58861 KachelY + 1 31286 -0.31997880 1.18828227 -18.333435 68.083559
    Unten rechts KachelX + 1 58862 KachelY + 1 31286 -0.31993087 1.18828227 -18.330689 68.083559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18830016-1.18828227) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dl = 113.977190000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18830016-1.18828227) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dr = 113.977190000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31997880--0.31993087) × cos(1.18830016) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373237413258558 × 6371000     		do = 113.972534184652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31997880--0.31993087) × cos(1.18828227) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373254010393436 × 6371000     		du = 113.97760231945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18830016)-sin(1.18828227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373237413258558-0.373254010393436)×R²
    abs(-0.31993087--0.31997880)×1.65971348783933e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65971348783933e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65971348783933e-05×40589641000000     		ar = 12990.5580097757m²