Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58861 / 31162
↖ ↑ ↗
← N 68.210330°
W 18.333435°		 ← 113.35 m → N 68.210330°
W 18.330689°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
N 68.209311°
W 18.333435°		 ← 113.36 m →
12 855 m²		 N 68.209311°
W 18.330689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449077606201172 y=0.237751007080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449077606201172 × 217)
    floor (0.449077606201172 × 131072)
    floor (58861.5)     		tx = 58861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237751007080078 × 217)
    floor (0.237751007080078 × 131072)
    floor (31162.5)     		ty = 31162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58861 / 31162 ti = "17/58861/31162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58861/31162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58861 ÷ 217
    58861 ÷ 131072     		x = 0.449073791503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31162 ÷ 217
    31162 ÷ 131072     		y = 0.237747192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449073791503906 × 2 - 1) × π
    -0.101852416992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31997880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237747192382812 × 2 - 1) × π
    0.524505615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64778298753981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31997880} λ = -0.31997880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64778298753981))-π/2
    2×atan(5.19544867510006)-π/2
    2×1.38064558632245-π/2
    2.76129117264491-1.57079632675     		φ = 1.19049485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31997880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.333435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19049485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.210330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58861 KachelY 31162 -0.31997880 1.19049485 -18.333435 68.210330
    Oben rechts KachelX + 1 58862 KachelY 31162 -0.31993087 1.19049485 -18.330689 68.210330
    Unten links KachelX 58861 KachelY + 1 31163 -0.31997880 1.19047705 -18.333435 68.209311
    Unten rechts KachelX + 1 58862 KachelY + 1 31163 -0.31993087 1.19047705 -18.330689 68.209311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19049485-1.19047705) × R
    1.78000000001788e-05 × 6371000     		dl = 113.403800001139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19049485-1.19047705) × R
    1.78000000001788e-05 × 6371000     		dr = 113.403800001139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31997880--0.31993087) × cos(1.19049485) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.371200423390452 × 6371000     		do = 113.350514823437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31997880--0.31993087) × cos(1.19047705) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.371216951570942 × 6371000     		du = 113.355561902184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19049485)-sin(1.19047705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371200423390452-0.371216951570942)×R²
    abs(-0.31993087--0.31997880)×1.65281804901385e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65281804901385e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65281804901385e-05×40589641000000     		ar = 12854.6652924316m²