Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58860 / 45996
↖ ↑ ↗
← N 47.197178°
W 18.336182°		 ← 207.53 m → N 47.197178°
W 18.333435°		 →
↑
207.50 m
↓
↑
207.50 m
↓
N 47.195312°
W 18.336182°		 ← 207.54 m →
43 064 m²		 N 47.195312°
W 18.333435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449069976806641 y=0.350925445556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449069976806641 × 217)
    floor (0.449069976806641 × 131072)
    floor (58860.5)     		tx = 58860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350925445556641 × 217)
    floor (0.350925445556641 × 131072)
    floor (45996.5)     		ty = 45996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58860 / 45996 ti = "17/58860/45996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58860/45996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58860 ÷ 217
    58860 ÷ 131072     		x = 0.449066162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45996 ÷ 217
    45996 ÷ 131072     		y = 0.350921630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449066162109375 × 2 - 1) × π
    -0.10186767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32002674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350921630859375 × 2 - 1) × π
    0.29815673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.936687018575897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32002674} λ = -0.32002674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936687018575897))-π/2
    2×atan(2.55151428092327)-π/2
    2×1.19727123984202-π/2
    2.39454247968403-1.57079632675     		φ = 0.82374615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32002674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.336182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82374615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.197178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58860 KachelY 45996 -0.32002674 0.82374615 -18.336182 47.197178
    Oben rechts KachelX + 1 58861 KachelY 45996 -0.31997880 0.82374615 -18.333435 47.197178
    Unten links KachelX 58860 KachelY + 1 45997 -0.32002674 0.82371358 -18.336182 47.195312
    Unten rechts KachelX + 1 58861 KachelY + 1 45997 -0.31997880 0.82371358 -18.333435 47.195312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82374615-0.82371358) × R
    3.25700000000095e-05 × 6371000     		dl = 207.503470000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82374615-0.82371358) × R
    3.25700000000095e-05 × 6371000     		dr = 207.503470000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32002674--0.31997880) × cos(0.82374615) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679477444726139 × 6371000     		do = 207.529901368654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32002674--0.31997880) × cos(0.82371358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.67950134085737 × 6371000     		du = 207.537199862218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82374615)-sin(0.82371358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679477444726139-0.67950134085737)×R²
    abs(-0.31997880--0.32002674)×2.38961312304387e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38961312304387e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38961312304387e-05×40589641000000     		ar = 43063.9318979453m²