Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58860 / 31284
↖ ↑ ↗
← N 68.085609°
W 18.336182°		 ← 113.99 m → N 68.085609°
W 18.333435°		 →
↑
113.98 m
↓
↑
113.98 m
↓
N 68.084584°
W 18.336182°		 ← 114 m →
12 993 m²		 N 68.084584°
W 18.333435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449069976806641 y=0.238681793212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449069976806641 × 217)
    floor (0.449069976806641 × 131072)
    floor (58860.5)     		tx = 58860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238681793212891 × 217)
    floor (0.238681793212891 × 131072)
    floor (31284.5)     		ty = 31284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58860 / 31284 ti = "17/58860/31284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58860/31284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58860 ÷ 217
    58860 ÷ 131072     		x = 0.449066162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31284 ÷ 217
    31284 ÷ 131072     		y = 0.238677978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449066162109375 × 2 - 1) × π
    -0.10186767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32002674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238677978515625 × 2 - 1) × π
    0.52264404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64193468578616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32002674} λ = -0.32002674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64193468578616))-π/2
    2×atan(5.16515279956335)-π/2
    2×1.3795571885499-π/2
    2.7591143770998-1.57079632675     		φ = 1.18831805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32002674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.336182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18831805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.085609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58860 KachelY 31284 -0.32002674 1.18831805 -18.336182 68.085609
    Oben rechts KachelX + 1 58861 KachelY 31284 -0.31997880 1.18831805 -18.333435 68.085609
    Unten links KachelX 58860 KachelY + 1 31285 -0.32002674 1.18830016 -18.336182 68.084584
    Unten rechts KachelX + 1 58861 KachelY + 1 31285 -0.31997880 1.18830016 -18.333435 68.084584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18831805-1.18830016) × R
    1.78899999998539e-05 × 6371000     		dl = 113.977189999069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18831805-1.18830016) × R
    1.78899999998539e-05 × 6371000     		dr = 113.977189999069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32002674--0.31997880) × cos(1.18831805) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373220816004224 × 6371000     		do = 113.991243911419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32002674--0.31997880) × cos(1.18830016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373237413258558 × 6371000     		du = 113.996313140106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18831805)-sin(1.18830016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373220816004224-0.373237413258558)×R²
    abs(-0.31997880--0.32002674)×1.65972543335613e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65972543335613e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65972543335613e-05×40589641000000     		ar = 12992.6905541832m²