Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5886 / 1791
↖ ↑ ↗
← N 83.027552°
W115.334473°		 ← 148.30 m → N 83.027552°
W115.323486°		 →
↑
148.32 m
↓
↑
148.32 m
↓
N 83.026219°
W115.334473°		 ← 148.33 m →
21 997 m²		 N 83.026219°
W115.323486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179641723632812 y=0.0546722412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179641723632812 × 215)
    floor (0.179641723632812 × 32768)
    floor (5886.5)     		tx = 5886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0546722412109375 × 215)
    floor (0.0546722412109375 × 32768)
    floor (1791.5)     		ty = 1791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5886 / 1791 ti = "15/5886/1791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5886/1791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5886 ÷ 215
    5886 ÷ 32768     		x = 0.17962646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1791 ÷ 215
    1791 ÷ 32768     		y = 0.054656982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17962646484375 × 2 - 1) × π
    -0.6407470703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.01296629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.054656982421875 × 2 - 1) × π
    0.89068603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.79817270462192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01296629} λ = -2.01296629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.79817270462192))-π/2
    2×atan(16.4146249817501)-π/2
    2×1.50995024505233-π/2
    3.01990049010466-1.57079632675     		φ = 1.44910416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01296629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.334473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44910416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.027552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5886 KachelY 1791 -2.01296629 1.44910416 -115.334473 83.027552
    Oben rechts KachelX + 1 5887 KachelY 1791 -2.01277454 1.44910416 -115.323486 83.027552
    Unten links KachelX 5886 KachelY + 1 1792 -2.01296629 1.44908088 -115.334473 83.026219
    Unten rechts KachelX + 1 5887 KachelY + 1 1792 -2.01277454 1.44908088 -115.323486 83.026219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44910416-1.44908088) × R
    2.32800000001809e-05 × 6371000     		dl = 148.316880001153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44910416-1.44908088) × R
    2.32800000001809e-05 × 6371000     		dr = 148.316880001153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01296629--2.01277454) × cos(1.44910416) × R
    0.000191749999999935 × 0.121392032900809 × 6371000     		do = 148.29727202887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01296629--2.01277454) × cos(1.44908088) × R
    0.000191749999999935 × 0.121415140703967 × 6371000     		du = 148.325501428188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44910416)-sin(1.44908088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.121392032900809-0.121415140703967)×R²
    abs(-2.01277454--2.01296629)×2.31078031577431e-05×R²
    0.000191749999999935×2.31078031577431e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.31078031577431e-05×40589641000000     		ar = 21997.0821496608m²