Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58859 / 31075
↖ ↑ ↗
← N 68.298858°
W 18.338928°		 ← 112.94 m → N 68.298858°
W 18.336182°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
N 68.297842°
W 18.338928°		 ← 112.94 m →
12 757 m²		 N 68.297842°
W 18.336182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449062347412109 y=0.237087249755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449062347412109 × 217)
    floor (0.449062347412109 × 131072)
    floor (58859.5)     		tx = 58859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237087249755859 × 217)
    floor (0.237087249755859 × 131072)
    floor (31075.5)     		ty = 31075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58859 / 31075 ti = "17/58859/31075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58859/31075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58859 ÷ 217
    58859 ÷ 131072     		x = 0.449058532714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31075 ÷ 217
    31075 ÷ 131072     		y = 0.237083435058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449058532714844 × 2 - 1) × π
    -0.101882934570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.32007468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237083435058594 × 2 - 1) × π
    0.525833129882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.65195349780676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32007468} λ = -0.32007468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65195349780676))-π/2
    2×atan(5.21716159264238)-π/2
    2×1.38141813677933-π/2
    2.76283627355866-1.57079632675     		φ = 1.19203995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32007468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.338928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19203995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.298858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58859 KachelY 31075 -0.32007468 1.19203995 -18.338928 68.298858
    Oben rechts KachelX + 1 58860 KachelY 31075 -0.32002674 1.19203995 -18.336182 68.298858
    Unten links KachelX 58859 KachelY + 1 31076 -0.32007468 1.19202222 -18.338928 68.297842
    Unten rechts KachelX + 1 58860 KachelY + 1 31076 -0.32002674 1.19202222 -18.336182 68.297842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19203995-1.19202222) × R
    1.77300000001601e-05 × 6371000     		dl = 112.95783000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19203995-1.19202222) × R
    1.77300000001601e-05 × 6371000     		dr = 112.95783000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32007468--0.32002674) × cos(1.19203995) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.369765273987601 × 6371000     		do = 112.935832434023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32007468--0.32002674) × cos(1.19202222) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.369781747319324 × 6371000     		du = 112.940863813554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19203995)-sin(1.19202222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369765273987601-0.369781747319324)×R²
    abs(-0.32002674--0.32007468)×1.64733317234433e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.64733317234433e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.64733317234433e-05×40589641000000     		ar = 12757.2707284379m²