Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58858 / 31078
↖ ↑ ↗
← N 68.295811°
W 18.341675°		 ← 112.95 m → N 68.295811°
W 18.338928°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
N 68.294795°
W 18.341675°		 ← 112.96 m →
12 759 m²		 N 68.294795°
W 18.338928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449054718017578 y=0.237110137939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449054718017578 × 217)
    floor (0.449054718017578 × 131072)
    floor (58858.5)     		tx = 58858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237110137939453 × 217)
    floor (0.237110137939453 × 131072)
    floor (31078.5)     		ty = 31078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58858 / 31078 ti = "17/58858/31078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58858/31078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58858 ÷ 217
    58858 ÷ 131072     		x = 0.449050903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31078 ÷ 217
    31078 ÷ 131072     		y = 0.237106323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449050903320312 × 2 - 1) × π
    -0.101898193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32012262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237106323242188 × 2 - 1) × π
    0.525787353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65180968710789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32012262} λ = -0.32012262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65180968710789))-π/2
    2×atan(5.2164113629345)-π/2
    2×1.38139154690149-π/2
    2.76278309380298-1.57079632675     		φ = 1.19198677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32012262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.341675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19198677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.295811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58858 KachelY 31078 -0.32012262 1.19198677 -18.341675 68.295811
    Oben rechts KachelX + 1 58859 KachelY 31078 -0.32007468 1.19198677 -18.338928 68.295811
    Unten links KachelX 58858 KachelY + 1 31079 -0.32012262 1.19196904 -18.341675 68.294795
    Unten rechts KachelX + 1 58859 KachelY + 1 31079 -0.32007468 1.19196904 -18.338928 68.294795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19198677-1.19196904) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dl = 112.957829999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19198677-1.19196904) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dr = 112.957829999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32012262--0.32007468) × cos(1.19198677) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.369814684342985 × 6371000     		do = 112.950923628379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32012262--0.32007468) × cos(1.19196904) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.369831157326032 × 6371000     		du = 112.955954901416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19198677)-sin(1.19196904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369814684342985-0.369831157326032)×R²
    abs(-0.32007468--0.32012262)×1.64729830473553e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.64729830473553e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.64729830473553e-05×40589641000000     		ar = 12758.9753906782m²