Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58857 / 39897
↖ ↑ ↗
← N 57.384303°
W 18.344421°		 ← 164.59 m → N 57.384303°
W 18.341675°		 →
↑
164.63 m
↓
↑
164.63 m
↓
N 57.382822°
W 18.344421°		 ← 164.60 m →
27 097 m²		 N 57.382822°
W 18.341675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449047088623047 y=0.304393768310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449047088623047 × 217)
    floor (0.449047088623047 × 131072)
    floor (58857.5)     		tx = 58857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304393768310547 × 217)
    floor (0.304393768310547 × 131072)
    floor (39897.5)     		ty = 39897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58857 / 39897 ti = "17/58857/39897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58857/39897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58857 ÷ 217
    58857 ÷ 131072     		x = 0.449043273925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39897 ÷ 217
    39897 ÷ 131072     		y = 0.304389953613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449043273925781 × 2 - 1) × π
    -0.101913452148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32017055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304389953613281 × 2 - 1) × π
    0.391220092773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.22905416935862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32017055} λ = -0.32017055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22905416935862))-π/2
    2×atan(3.41799516238915)-π/2
    2×1.2861706745149-π/2
    2.57234134902981-1.57079632675     		φ = 1.00154502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32017055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.344421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00154502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.384303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58857 KachelY 39897 -0.32017055 1.00154502 -18.344421 57.384303
    Oben rechts KachelX + 1 58858 KachelY 39897 -0.32012262 1.00154502 -18.341675 57.384303
    Unten links KachelX 58857 KachelY + 1 39898 -0.32017055 1.00151918 -18.344421 57.382822
    Unten rechts KachelX + 1 58858 KachelY + 1 39898 -0.32012262 1.00151918 -18.341675 57.382822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00154502-1.00151918) × R
    2.58399999999437e-05 × 6371000     		dl = 164.626639999641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00154502-1.00151918) × R
    2.58399999999437e-05 × 6371000     		dr = 164.626639999641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32017055--0.32012262) × cos(1.00154502) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.539001572010307 × 6371000     		do = 164.590614202168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32017055--0.32012262) × cos(1.00151918) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.539023336985304 × 6371000     		du = 164.597260399117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00154502)-sin(1.00151918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539001572010307-0.539023336985304)×R²
    abs(-0.32012262--0.32017055)×2.17649749973958e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.17649749973958e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.17649749973958e-05×40589641000000     		ar = 27096.5468636624m²