Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58857 / 39415
↖ ↑ ↗
← N 58.090945°
W 18.344421°		 ← 161.41 m → N 58.090945°
W 18.341675°		 →
↑
161.44 m
↓
↑
161.44 m
↓
N 58.089493°
W 18.344421°		 ← 161.41 m →
26 058 m²		 N 58.089493°
W 18.341675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449047088623047 y=0.300716400146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449047088623047 × 217)
    floor (0.449047088623047 × 131072)
    floor (58857.5)     		tx = 58857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300716400146484 × 217)
    floor (0.300716400146484 × 131072)
    floor (39415.5)     		ty = 39415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58857 / 39415 ti = "17/58857/39415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58857/39415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58857 ÷ 217
    58857 ÷ 131072     		x = 0.449043273925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39415 ÷ 217
    39415 ÷ 131072     		y = 0.300712585449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449043273925781 × 2 - 1) × π
    -0.101913452148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32017055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300712585449219 × 2 - 1) × π
    0.398574829101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.25215975497549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32017055} λ = -0.32017055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25215975497549))-π/2
    2×atan(3.49788938931886)-π/2
    2×1.29233728756134-π/2
    2.58467457512268-1.57079632675     		φ = 1.01387825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32017055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.344421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01387825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.090945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58857 KachelY 39415 -0.32017055 1.01387825 -18.344421 58.090945
    Oben rechts KachelX + 1 58858 KachelY 39415 -0.32012262 1.01387825 -18.341675 58.090945
    Unten links KachelX 58857 KachelY + 1 39416 -0.32017055 1.01385291 -18.344421 58.089493
    Unten rechts KachelX + 1 58858 KachelY + 1 39416 -0.32012262 1.01385291 -18.341675 58.089493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01387825-1.01385291) × R
    2.53400000000958e-05 × 6371000     		dl = 161.441140000611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01387825-1.01385291) × R
    2.53400000000958e-05 × 6371000     		dr = 161.441140000611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32017055--0.32012262) × cos(1.01387825) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.52857250419938 × 6371000     		do = 161.405972884418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32017055--0.32012262) × cos(1.01385291) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.528594014855644 × 6371000     		du = 161.412541422082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01387825)-sin(1.01385291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52857250419938-0.528594014855644)×R²
    abs(-0.32012262--0.32017055)×2.1510656264101e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.1510656264101e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.1510656264101e-05×40589641000000     		ar = 26058.094482852m²