Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58857 / 31117
↖ ↑ ↗
← N 68.256163°
W 18.344421°		 ← 113.12 m → N 68.256163°
W 18.341675°		 →
↑
113.15 m
↓
↑
113.15 m
↓
N 68.255145°
W 18.344421°		 ← 113.13 m →
12 800 m²		 N 68.255145°
W 18.341675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449047088623047 y=0.237407684326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449047088623047 × 217)
    floor (0.449047088623047 × 131072)
    floor (58857.5)     		tx = 58857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237407684326172 × 217)
    floor (0.237407684326172 × 131072)
    floor (31117.5)     		ty = 31117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58857 / 31117 ti = "17/58857/31117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58857/31117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58857 ÷ 217
    58857 ÷ 131072     		x = 0.449043273925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31117 ÷ 217
    31117 ÷ 131072     		y = 0.237403869628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449043273925781 × 2 - 1) × π
    -0.101913452148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32017055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237403869628906 × 2 - 1) × π
    0.525192260742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.64994014802271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32017055} λ = -0.32017055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64994014802271))-π/2
    2×atan(5.20666818846769)-π/2
    2×1.38104555501633-π/2
    2.76209111003267-1.57079632675     		φ = 1.19129478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32017055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.344421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19129478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.256163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58857 KachelY 31117 -0.32017055 1.19129478 -18.344421 68.256163
    Oben rechts KachelX + 1 58858 KachelY 31117 -0.32012262 1.19129478 -18.341675 68.256163
    Unten links KachelX 58857 KachelY + 1 31118 -0.32017055 1.19127702 -18.344421 68.255145
    Unten rechts KachelX + 1 58858 KachelY + 1 31118 -0.32012262 1.19127702 -18.341675 68.255145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19129478-1.19127702) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dl = 113.148959999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19129478-1.19127702) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dr = 113.148959999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32017055--0.32012262) × cos(1.19129478) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.370457527489449 × 6371000     		do = 113.123662622897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32017055--0.32012262) × cos(1.19127702) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.370474023796487 × 6371000     		du = 113.128699968702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19129478)-sin(1.19127702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370457527489449-0.370474023796487)×R²
    abs(-0.32012262--0.32017055)×1.64963070377055e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.64963070377055e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.64963070377055e-05×40589641000000     		ar = 12800.1097626019m²