Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58856 / 45995
↖ ↑ ↗
← N 47.199044°
W 18.347168°		 ← 207.52 m → N 47.199044°
W 18.344421°		 →
↑
207.50 m
↓
↑
207.50 m
↓
N 47.197178°
W 18.347168°		 ← 207.53 m →
43 062 m²		 N 47.197178°
W 18.344421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449039459228516 y=0.350917816162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449039459228516 × 217)
    floor (0.449039459228516 × 131072)
    floor (58856.5)     		tx = 58856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350917816162109 × 217)
    floor (0.350917816162109 × 131072)
    floor (45995.5)     		ty = 45995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58856 / 45995 ti = "17/58856/45995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58856/45995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58856 ÷ 217
    58856 ÷ 131072     		x = 0.44903564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45995 ÷ 217
    45995 ÷ 131072     		y = 0.350914001464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44903564453125 × 2 - 1) × π
    -0.1019287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32021849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350914001464844 × 2 - 1) × π
    0.298171997070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.936734955475517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32021849} λ = -0.32021849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936734955475517))-π/2
    2×atan(2.5516365955389)-π/2
    2×1.1972875255766-π/2
    2.39457505115319-1.57079632675     		φ = 0.82377872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32021849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.347168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82377872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.199044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58856 KachelY 45995 -0.32021849 0.82377872 -18.347168 47.199044
    Oben rechts KachelX + 1 58857 KachelY 45995 -0.32017055 0.82377872 -18.344421 47.199044
    Unten links KachelX 58856 KachelY + 1 45996 -0.32021849 0.82374615 -18.347168 47.197178
    Unten rechts KachelX + 1 58857 KachelY + 1 45996 -0.32017055 0.82374615 -18.344421 47.197178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82377872-0.82374615) × R
    3.25700000000095e-05 × 6371000     		dl = 207.503470000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82377872-0.82374615) × R
    3.25700000000095e-05 × 6371000     		dr = 207.503470000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32021849--0.32017055) × cos(0.82377872) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679453547874116 × 6371000     		do = 207.522602655181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32021849--0.32017055) × cos(0.82374615) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679477444726139 × 6371000     		du = 207.529901368894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82377872)-sin(0.82374615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679453547874116-0.679477444726139)×R²
    abs(-0.32017055--0.32021849)×2.38968520234195e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38968520234195e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38968520234195e-05×40589641000000     		ar = 43062.4174123781m²