Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58856 / 39895
↖ ↑ ↗
← N 57.387264°
W 18.347168°		 ← 164.61 m → N 57.387264°
W 18.344421°		 →
↑
164.63 m
↓
↑
164.63 m
↓
N 57.385783°
W 18.347168°		 ← 164.62 m →
27 100 m²		 N 57.385783°
W 18.344421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449039459228516 y=0.304378509521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449039459228516 × 217)
    floor (0.449039459228516 × 131072)
    floor (58856.5)     		tx = 58856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304378509521484 × 217)
    floor (0.304378509521484 × 131072)
    floor (39895.5)     		ty = 39895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58856 / 39895 ti = "17/58856/39895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58856/39895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58856 ÷ 217
    58856 ÷ 131072     		x = 0.44903564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39895 ÷ 217
    39895 ÷ 131072     		y = 0.304374694824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44903564453125 × 2 - 1) × π
    -0.1019287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32021849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304374694824219 × 2 - 1) × π
    0.391250610351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.22915004315786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32021849} λ = -0.32021849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22915004315786))-π/2
    2×atan(3.41832287428039)-π/2
    2×1.28619651153581-π/2
    2.57239302307161-1.57079632675     		φ = 1.00159670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32021849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.347168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00159670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.387264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58856 KachelY 39895 -0.32021849 1.00159670 -18.347168 57.387264
    Oben rechts KachelX + 1 58857 KachelY 39895 -0.32017055 1.00159670 -18.344421 57.387264
    Unten links KachelX 58856 KachelY + 1 39896 -0.32021849 1.00157086 -18.347168 57.385783
    Unten rechts KachelX + 1 58857 KachelY + 1 39896 -0.32017055 1.00157086 -18.344421 57.385783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00159670-1.00157086) × R
    2.58399999999437e-05 × 6371000     		dl = 164.626639999641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00159670-1.00157086) × R
    2.58399999999437e-05 × 6371000     		dr = 164.626639999641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32021849--0.32017055) × cos(1.00159670) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.538958040980643 × 6371000     		do = 164.611658495546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32021849--0.32017055) × cos(1.00157086) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.538979806675415 × 6371000     		du = 164.618306298978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00159670)-sin(1.00157086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538958040980643-0.538979806675415)×R²
    abs(-0.32017055--0.32021849)×2.1765694771636e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1765694771636e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1765694771636e-05×40589641000000     		ar = 27100.0114471037m²