Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58855 / 31085
↖ ↑ ↗
← N 68.288700°
W 18.349915°		 ← 112.99 m → N 68.288700°
W 18.347168°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
N 68.287684°
W 18.349915°		 ← 112.99 m →
12 763 m²		 N 68.287684°
W 18.347168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449031829833984 y=0.237163543701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449031829833984 × 217)
    floor (0.449031829833984 × 131072)
    floor (58855.5)     		tx = 58855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237163543701172 × 217)
    floor (0.237163543701172 × 131072)
    floor (31085.5)     		ty = 31085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58855 / 31085 ti = "17/58855/31085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58855/31085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58855 ÷ 217
    58855 ÷ 131072     		x = 0.449028015136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31085 ÷ 217
    31085 ÷ 131072     		y = 0.237159729003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449028015136719 × 2 - 1) × π
    -0.101943969726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32026643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237159729003906 × 2 - 1) × π
    0.525680541992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.65147412881055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32026643} λ = -0.32026643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65147412881055))-π/2
    2×atan(5.2146612464688)-π/2
    2×1.38132949003507-π/2
    2.76265898007015-1.57079632675     		φ = 1.19186265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32026643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.349915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19186265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.288700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58855 KachelY 31085 -0.32026643 1.19186265 -18.349915 68.288700
    Oben rechts KachelX + 1 58856 KachelY 31085 -0.32021849 1.19186265 -18.347168 68.288700
    Unten links KachelX 58855 KachelY + 1 31086 -0.32026643 1.19184492 -18.349915 68.287684
    Unten rechts KachelX + 1 58856 KachelY + 1 31086 -0.32021849 1.19184492 -18.347168 68.287684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19186265-1.19184492) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dl = 112.957829999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19186265-1.19184492) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dr = 112.957829999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32026643--0.32021849) × cos(1.19186265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369930002073324 × 6371000     		do = 112.986144631372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32026643--0.32021849) × cos(1.19184492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369946474242395 × 6371000     		du = 112.9911756558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19186265)-sin(1.19184492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369930002073324-0.369946474242395)×R²
    abs(-0.32021849--0.32026643)×1.64721690705805e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64721690705805e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64721690705805e-05×40589641000000     		ar = 12762.9538647678m²