Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58854 / 45992
↖ ↑ ↗
← N 47.204642°
W 18.352661°		 ← 207.46 m → N 47.204642°
W 18.349915°		 →
↑
207.50 m
↓
↑
207.50 m
↓
N 47.202776°
W 18.352661°		 ← 207.46 m →
43 049 m²		 N 47.202776°
W 18.349915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449024200439453 y=0.350894927978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449024200439453 × 217)
    floor (0.449024200439453 × 131072)
    floor (58854.5)     		tx = 58854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350894927978516 × 217)
    floor (0.350894927978516 × 131072)
    floor (45992.5)     		ty = 45992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58854 / 45992 ti = "17/58854/45992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58854/45992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58854 ÷ 217
    58854 ÷ 131072     		x = 0.449020385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45992 ÷ 217
    45992 ÷ 131072     		y = 0.35089111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449020385742188 × 2 - 1) × π
    -0.101959228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32031436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35089111328125 × 2 - 1) × π
    0.2982177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.936878766174377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32031436} λ = -0.32031436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936878766174377))-π/2
    2×atan(2.55200357456806)-π/2
    2×1.19733637934358-π/2
    2.39467275868717-1.57079632675     		φ = 0.82387643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32031436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.352661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82387643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.204642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58854 KachelY 45992 -0.32031436 0.82387643 -18.352661 47.204642
    Oben rechts KachelX + 1 58855 KachelY 45992 -0.32026643 0.82387643 -18.349915 47.204642
    Unten links KachelX 58854 KachelY + 1 45993 -0.32031436 0.82384386 -18.352661 47.202776
    Unten rechts KachelX + 1 58855 KachelY + 1 45993 -0.32026643 0.82384386 -18.349915 47.202776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82387643-0.82384386) × R
    3.25700000000095e-05 × 6371000     		dl = 207.503470000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82387643-0.82384386) × R
    3.25700000000095e-05 × 6371000     		dr = 207.503470000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32031436--0.32026643) × cos(0.82387643) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679381852993541 × 6371000     		do = 207.457421775396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32031436--0.32026643) × cos(0.82384386) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679405752007791 × 6371000     		du = 207.464719626903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82387643)-sin(0.82384386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679381852993541-0.679405752007791)×R²
    abs(-0.32026643--0.32031436)×2.38990142502615e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38990142502615e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38990142502615e-05×40589641000000     		ar = 43048.8920642274m²