Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58854 / 45990
↖ ↑ ↗
← N 47.208374°
W 18.352661°		 ← 207.44 m → N 47.208374°
W 18.349915°		 →
↑
207.44 m
↓
↑
207.44 m
↓
N 47.206508°
W 18.352661°		 ← 207.45 m →
43 033 m²		 N 47.206508°
W 18.349915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449024200439453 y=0.350879669189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449024200439453 × 217)
    floor (0.449024200439453 × 131072)
    floor (58854.5)     		tx = 58854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350879669189453 × 217)
    floor (0.350879669189453 × 131072)
    floor (45990.5)     		ty = 45990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58854 / 45990 ti = "17/58854/45990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58854/45990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58854 ÷ 217
    58854 ÷ 131072     		x = 0.449020385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45990 ÷ 217
    45990 ÷ 131072     		y = 0.350875854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449020385742188 × 2 - 1) × π
    -0.101959228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32031436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350875854492188 × 2 - 1) × π
    0.298248291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.936974639973618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32031436} λ = -0.32031436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936974639973618))-π/2
    2×atan(2.55224825657554)-π/2
    2×1.19736894565764-π/2
    2.39473789131528-1.57079632675     		φ = 0.82394156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32031436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.352661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82394156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.208374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58854 KachelY 45990 -0.32031436 0.82394156 -18.352661 47.208374
    Oben rechts KachelX + 1 58855 KachelY 45990 -0.32026643 0.82394156 -18.349915 47.208374
    Unten links KachelX 58854 KachelY + 1 45991 -0.32031436 0.82390900 -18.352661 47.206508
    Unten rechts KachelX + 1 58855 KachelY + 1 45991 -0.32026643 0.82390900 -18.349915 47.206508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82394156-0.82390900) × R
    3.25599999999593e-05 × 6371000     		dl = 207.439759999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82394156-0.82390900) × R
    3.25599999999593e-05 × 6371000     		dr = 207.439759999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32031436--0.32026643) × cos(0.82394156) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679334060141282 × 6371000     		do = 207.442827653011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32031436--0.32026643) × cos(0.82390900) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679357953258599 × 6371000     		du = 207.450123703818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82394156)-sin(0.82390900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679334060141282-0.679357953258599)×R²
    abs(-0.32026643--0.32031436)×2.38931173165424e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38931173165424e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38931173165424e-05×40589641000000     		ar = 43032.6471313274m²