Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58854 / 31086
↖ ↑ ↗
← N 68.287684°
W 18.352661°		 ← 112.97 m → N 68.287684°
W 18.349915°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
N 68.286668°
W 18.352661°		 ← 112.97 m →
12 761 m²		 N 68.286668°
W 18.349915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449024200439453 y=0.237171173095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449024200439453 × 217)
    floor (0.449024200439453 × 131072)
    floor (58854.5)     		tx = 58854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237171173095703 × 217)
    floor (0.237171173095703 × 131072)
    floor (31086.5)     		ty = 31086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58854 / 31086 ti = "17/58854/31086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58854/31086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58854 ÷ 217
    58854 ÷ 131072     		x = 0.449020385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31086 ÷ 217
    31086 ÷ 131072     		y = 0.237167358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449020385742188 × 2 - 1) × π
    -0.101959228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32031436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237167358398438 × 2 - 1) × π
    0.525665283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.65142619191093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32031436} λ = -0.32031436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65142619191093))-π/2
    2×atan(5.21441127776748)-π/2
    2×1.38132062318901-π/2
    2.76264124637802-1.57079632675     		φ = 1.19184492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32031436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.352661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19184492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.287684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58854 KachelY 31086 -0.32031436 1.19184492 -18.352661 68.287684
    Oben rechts KachelX + 1 58855 KachelY 31086 -0.32026643 1.19184492 -18.349915 68.287684
    Unten links KachelX 58854 KachelY + 1 31087 -0.32031436 1.19182719 -18.352661 68.286668
    Unten rechts KachelX + 1 58855 KachelY + 1 31087 -0.32026643 1.19182719 -18.349915 68.286668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19184492-1.19182719) × R
    1.77300000001601e-05 × 6371000     		dl = 112.95783000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19184492-1.19182719) × R
    1.77300000001601e-05 × 6371000     		dr = 112.95783000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32031436--0.32026643) × cos(1.19184492) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369946474242395 × 6371000     		do = 112.967606366069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32031436--0.32026643) × cos(1.19182719) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369962946295172 × 6371000     		du = 112.972636305544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19184492)-sin(1.19182719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369946474242395-0.369962946295172)×R²
    abs(-0.32026643--0.32031436)×1.64720527769946e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64720527769946e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64720527769946e-05×40589641000000     		ar = 12760.8597614243m²