Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58854 / 30107
↖ ↑ ↗
← N 69.261013°
W 18.352661°		 ← 108.13 m → N 69.261013°
W 18.349915°		 →
↑
108.18 m
↓
↑
108.18 m
↓
N 69.260040°
W 18.352661°		 ← 108.14 m →
11 698 m²		 N 69.260040°
W 18.349915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449024200439453 y=0.229701995849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449024200439453 × 217)
    floor (0.449024200439453 × 131072)
    floor (58854.5)     		tx = 58854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229701995849609 × 217)
    floor (0.229701995849609 × 131072)
    floor (30107.5)     		ty = 30107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58854 / 30107 ti = "17/58854/30107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58854/30107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58854 ÷ 217
    58854 ÷ 131072     		x = 0.449020385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30107 ÷ 217
    30107 ÷ 131072     		y = 0.229698181152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449020385742188 × 2 - 1) × π
    -0.101959228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32031436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229698181152344 × 2 - 1) × π
    0.540603637695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.69835641663897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32031436} λ = -0.32031436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69835641663897))-π/2
    2×atan(5.46495789239443)-π/2
    2×1.38981452131002-π/2
    2.77962904262005-1.57079632675     		φ = 1.20883272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32031436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.352661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20883272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.261013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58854 KachelY 30107 -0.32031436 1.20883272 -18.352661 69.261013
    Oben rechts KachelX + 1 58855 KachelY 30107 -0.32026643 1.20883272 -18.349915 69.261013
    Unten links KachelX 58854 KachelY + 1 30108 -0.32031436 1.20881574 -18.352661 69.260040
    Unten rechts KachelX + 1 58855 KachelY + 1 30108 -0.32026643 1.20881574 -18.349915 69.260040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20883272-1.20881574) × R
    1.69800000000553e-05 × 6371000     		dl = 108.179580000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20883272-1.20881574) × R
    1.69800000000553e-05 × 6371000     		dr = 108.179580000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32031436--0.32026643) × cos(1.20883272) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.354111286315653 × 6371000     		do = 108.132141235325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32031436--0.32026643) × cos(1.20881574) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.354127166016498 × 6371000     		du = 108.136990293011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20883272)-sin(1.20881574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354111286315653-0.354127166016498)×R²
    abs(-0.32026643--0.32031436)×1.587970084449e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.587970084449e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.587970084449e-05×40589641000000     		ar = 11697.9519081497m²