Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58853 / 45979
↖ ↑ ↗
← N 47.228894°
W 18.355408°		 ← 207.41 m → N 47.228894°
W 18.352661°		 →
↑
207.38 m
↓
↑
207.38 m
↓
N 47.227029°
W 18.355408°		 ← 207.41 m →
43 012 m²		 N 47.227029°
W 18.352661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449016571044922 y=0.350795745849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449016571044922 × 217)
    floor (0.449016571044922 × 131072)
    floor (58853.5)     		tx = 58853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350795745849609 × 217)
    floor (0.350795745849609 × 131072)
    floor (45979.5)     		ty = 45979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58853 / 45979 ti = "17/58853/45979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58853/45979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58853 ÷ 217
    58853 ÷ 131072     		x = 0.449012756347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45979 ÷ 217
    45979 ÷ 131072     		y = 0.350791931152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449012756347656 × 2 - 1) × π
    -0.101974487304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32036230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350791931152344 × 2 - 1) × π
    0.298416137695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.937501945869438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32036230} λ = -0.32036230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937501945869438))-π/2
    2×atan(2.55359442701945)-π/2
    2×1.19754801943176-π/2
    2.39509603886351-1.57079632675     		φ = 0.82429971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32036230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.355408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82429971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.228894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58853 KachelY 45979 -0.32036230 0.82429971 -18.355408 47.228894
    Oben rechts KachelX + 1 58854 KachelY 45979 -0.32031436 0.82429971 -18.352661 47.228894
    Unten links KachelX 58853 KachelY + 1 45980 -0.32036230 0.82426716 -18.355408 47.227029
    Unten rechts KachelX + 1 58854 KachelY + 1 45980 -0.32031436 0.82426716 -18.352661 47.227029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82429971-0.82426716) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dl = 207.376050000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82429971-0.82426716) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dr = 207.376050000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32036230--0.32031436) × cos(0.82429971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679071195664 × 6371000     		do = 207.405822448226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32036230--0.32031436) × cos(0.82426716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679095089361382 × 6371000     		du = 207.41312019843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82429971)-sin(0.82426716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679071195664-0.679095089361382)×R²
    abs(-0.32031436--0.32036230)×2.38936973819825e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38936973819825e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38936973819825e-05×40589641000000     		ar = 43011.7568994978m²