Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58852 / 45988
↖ ↑ ↗
← N 47.212106°
W 18.358154°		 ← 207.47 m → N 47.212106°
W 18.355408°		 →
↑
207.44 m
↓
↑
207.44 m
↓
N 47.210240°
W 18.358154°		 ← 207.48 m →
43 039 m²		 N 47.210240°
W 18.355408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449008941650391 y=0.350864410400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449008941650391 × 217)
    floor (0.449008941650391 × 131072)
    floor (58852.5)     		tx = 58852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350864410400391 × 217)
    floor (0.350864410400391 × 131072)
    floor (45988.5)     		ty = 45988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58852 / 45988 ti = "17/58852/45988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58852/45988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58852 ÷ 217
    58852 ÷ 131072     		x = 0.449005126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45988 ÷ 217
    45988 ÷ 131072     		y = 0.350860595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449005126953125 × 2 - 1) × π
    -0.10198974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32041024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350860595703125 × 2 - 1) × π
    0.29827880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.937070513772858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32041024} λ = -0.32041024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937070513772858))-π/2
    2×atan(2.55249296204274)-π/2
    2×1.19740150968057-π/2
    2.39480301936115-1.57079632675     		φ = 0.82400669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32041024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.358154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82400669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.212106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58852 KachelY 45988 -0.32041024 0.82400669 -18.358154 47.212106
    Oben rechts KachelX + 1 58853 KachelY 45988 -0.32036230 0.82400669 -18.355408 47.212106
    Unten links KachelX 58852 KachelY + 1 45989 -0.32041024 0.82397413 -18.358154 47.210240
    Unten rechts KachelX + 1 58853 KachelY + 1 45989 -0.32036230 0.82397413 -18.355408 47.210240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82400669-0.82397413) × R
    3.25600000000703e-05 × 6371000     		dl = 207.439760000448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82400669-0.82397413) × R
    3.25600000000703e-05 × 6371000     		dr = 207.439760000448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32041024--0.32036230) × cos(0.82400669) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679286264407345 × 6371000     		do = 207.471509978553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32041024--0.32036230) × cos(0.82397413) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679310158965255 × 6371000     		du = 207.478807991585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82400669)-sin(0.82397413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679286264407345-0.679310158965255)×R²
    abs(-0.32036230--0.32041024)×2.38945579092986e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38945579092986e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38945579092986e-05×40589641000000     		ar = 43038.5971896453m²