Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58852 / 45980
↖ ↑ ↗
← N 47.227029°
W 18.358154°		 ← 207.41 m → N 47.227029°
W 18.355408°		 →
↑
207.44 m
↓
↑
207.44 m
↓
N 47.225164°
W 18.358154°		 ← 207.42 m →
43 026 m²		 N 47.225164°
W 18.355408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449008941650391 y=0.350803375244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449008941650391 × 217)
    floor (0.449008941650391 × 131072)
    floor (58852.5)     		tx = 58852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350803375244141 × 217)
    floor (0.350803375244141 × 131072)
    floor (45980.5)     		ty = 45980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58852 / 45980 ti = "17/58852/45980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58852/45980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58852 ÷ 217
    58852 ÷ 131072     		x = 0.449005126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45980 ÷ 217
    45980 ÷ 131072     		y = 0.350799560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449005126953125 × 2 - 1) × π
    -0.10198974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32041024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350799560546875 × 2 - 1) × π
    0.29840087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.937454008969818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32041024} λ = -0.32041024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937454008969818))-π/2
    2×atan(2.55347201855369)-π/2
    2×1.19753174286155-π/2
    2.39506348572309-1.57079632675     		φ = 0.82426716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32041024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.358154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82426716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.227029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58852 KachelY 45980 -0.32041024 0.82426716 -18.358154 47.227029
    Oben rechts KachelX + 1 58853 KachelY 45980 -0.32036230 0.82426716 -18.355408 47.227029
    Unten links KachelX 58852 KachelY + 1 45981 -0.32041024 0.82423460 -18.358154 47.225164
    Unten rechts KachelX + 1 58853 KachelY + 1 45981 -0.32036230 0.82423460 -18.355408 47.225164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82426716-0.82423460) × R
    3.25599999999593e-05 × 6371000     		dl = 207.439759999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82426716-0.82423460) × R
    3.25599999999593e-05 × 6371000     		dr = 207.439759999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32041024--0.32036230) × cos(0.82426716) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679095089361382 × 6371000     		do = 207.41312019867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32041024--0.32036230) × cos(0.82423460) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679118989679543 × 6371000     		du = 207.420419971031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82426716)-sin(0.82423460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679095089361382-0.679118989679543)×R²
    abs(-0.32036230--0.32041024)×2.39003181610187e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39003181610187e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39003181610187e-05×40589641000000     		ar = 43026.485010135m²