Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58850 / 45986
↖ ↑ ↗
← N 47.215837°
W 18.363647°		 ← 207.46 m → N 47.215837°
W 18.360901°		 →
↑
207.50 m
↓
↑
207.50 m
↓
N 47.213971°
W 18.363647°		 ← 207.46 m →
43 049 m²		 N 47.213971°
W 18.360901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448993682861328 y=0.350849151611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448993682861328 × 217)
    floor (0.448993682861328 × 131072)
    floor (58850.5)     		tx = 58850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350849151611328 × 217)
    floor (0.350849151611328 × 131072)
    floor (45986.5)     		ty = 45986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58850 / 45986 ti = "17/58850/45986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58850/45986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58850 ÷ 217
    58850 ÷ 131072     		x = 0.448989868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45986 ÷ 217
    45986 ÷ 131072     		y = 0.350845336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448989868164062 × 2 - 1) × π
    -0.102020263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32050611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350845336914062 × 2 - 1) × π
    0.298309326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.937166387572098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32050611} λ = -0.32050611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937166387572098))-π/2
    2×atan(2.5527376909719)-π/2
    2×1.19743407141241-π/2
    2.39486814282481-1.57079632675     		φ = 0.82407182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32050611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.363647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82407182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.215837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58850 KachelY 45986 -0.32050611 0.82407182 -18.363647 47.215837
    Oben rechts KachelX + 1 58851 KachelY 45986 -0.32045817 0.82407182 -18.360901 47.215837
    Unten links KachelX 58850 KachelY + 1 45987 -0.32050611 0.82403925 -18.363647 47.213971
    Unten rechts KachelX + 1 58851 KachelY + 1 45987 -0.32045817 0.82403925 -18.360901 47.213971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82407182-0.82403925) × R
    3.25700000000095e-05 × 6371000     		dl = 207.503470000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82407182-0.82403925) × R
    3.25700000000095e-05 × 6371000     		dr = 207.503470000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32050611--0.32045817) × cos(0.82407182) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679238465791932 × 6371000     		do = 207.45691105107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32050611--0.32045817) × cos(0.82403925) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679262369129288 × 6371000     		du = 207.46421174557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82407182)-sin(0.82403925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679238465791932-0.679262369129288)×R²
    abs(-0.32045817--0.32050611)×2.39033373560238e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39033373560238e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39033373560238e-05×40589641000000     		ar = 43048.7863820539m²