Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58850 / 39423
↖ ↑ ↗
← N 58.079329°
W 18.363647°		 ← 161.49 m → N 58.079329°
W 18.360901°		 →
↑
161.50 m
↓
↑
161.50 m
↓
N 58.077876°
W 18.363647°		 ← 161.50 m →
26 082 m²		 N 58.077876°
W 18.360901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448993682861328 y=0.300777435302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448993682861328 × 217)
    floor (0.448993682861328 × 131072)
    floor (58850.5)     		tx = 58850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300777435302734 × 217)
    floor (0.300777435302734 × 131072)
    floor (39423.5)     		ty = 39423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58850 / 39423 ti = "17/58850/39423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58850/39423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58850 ÷ 217
    58850 ÷ 131072     		x = 0.448989868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39423 ÷ 217
    39423 ÷ 131072     		y = 0.300773620605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448989868164062 × 2 - 1) × π
    -0.102020263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32050611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300773620605469 × 2 - 1) × π
    0.398452758789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.25177625977853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32050611} λ = -0.32050611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25177625977853))-π/2
    2×atan(3.49654822272047)-π/2
    2×1.29223591855429-π/2
    2.58447183710858-1.57079632675     		φ = 1.01367551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32050611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.363647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01367551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.079329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58850 KachelY 39423 -0.32050611 1.01367551 -18.363647 58.079329
    Oben rechts KachelX + 1 58851 KachelY 39423 -0.32045817 1.01367551 -18.360901 58.079329
    Unten links KachelX 58850 KachelY + 1 39424 -0.32050611 1.01365016 -18.363647 58.077876
    Unten rechts KachelX + 1 58851 KachelY + 1 39424 -0.32045817 1.01365016 -18.360901 58.077876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01367551-1.01365016) × R
    2.5349999999813e-05 × 6371000     		dl = 161.504849998809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01367551-1.01365016) × R
    2.5349999999813e-05 × 6371000     		dr = 161.504849998809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32050611--0.32045817) × cos(1.01367551) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.528744596920622 × 6371000     		do = 161.492209785564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32050611--0.32045817) × cos(1.01365016) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.528766113348559 × 6371000     		du = 161.498781456489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01367551)-sin(1.01365016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528744596920622-0.528766113348559)×R²
    abs(-0.32045817--0.32050611)×2.15164279373514e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15164279373514e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15164279373514e-05×40589641000000     		ar = 26082.3057972537m²