Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58849 / 45985
↖ ↑ ↗
← N 47.217703°
W 18.366394°		 ← 207.45 m → N 47.217703°
W 18.363647°		 →
↑
207.44 m
↓
↑
207.44 m
↓
N 47.215837°
W 18.366394°		 ← 207.46 m →
43 034 m²		 N 47.215837°
W 18.363647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448986053466797 y=0.350841522216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448986053466797 × 217)
    floor (0.448986053466797 × 131072)
    floor (58849.5)     		tx = 58849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350841522216797 × 217)
    floor (0.350841522216797 × 131072)
    floor (45985.5)     		ty = 45985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58849 / 45985 ti = "17/58849/45985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58849/45985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58849 ÷ 217
    58849 ÷ 131072     		x = 0.448982238769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45985 ÷ 217
    45985 ÷ 131072     		y = 0.350837707519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448982238769531 × 2 - 1) × π
    -0.102035522460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32055405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350837707519531 × 2 - 1) × π
    0.298324584960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.937214324471718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32055405} λ = -0.32055405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937214324471718))-π/2
    2×atan(2.55286006423542)-π/2
    2×1.19745035141917-π/2
    2.39490070283834-1.57079632675     		φ = 0.82410438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32055405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.366394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82410438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.217703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58849 KachelY 45985 -0.32055405 0.82410438 -18.366394 47.217703
    Oben rechts KachelX + 1 58850 KachelY 45985 -0.32050611 0.82410438 -18.363647 47.217703
    Unten links KachelX 58849 KachelY + 1 45986 -0.32055405 0.82407182 -18.366394 47.215837
    Unten rechts KachelX + 1 58850 KachelY + 1 45986 -0.32050611 0.82407182 -18.363647 47.215837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82410438-0.82407182) × R
    3.25599999999593e-05 × 6371000     		dl = 207.439759999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82410438-0.82407182) × R
    3.25599999999593e-05 × 6371000     		dr = 207.439759999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32055405--0.32050611) × cos(0.82410438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679214569073435 × 6371000     		do = 207.449612377899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32055405--0.32050611) × cos(0.82407182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679238465791932 × 6371000     		du = 207.45691105083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82410438)-sin(0.82407182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679214569073435-0.679238465791932)×R²
    abs(-0.32050611--0.32055405)×2.38967184976735e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38967184976735e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38967184976735e-05×40589641000000     		ar = 43034.0548250154m²