Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58848 / 31199
↖ ↑ ↗
← N 68.172577°
W 18.369140°		 ← 113.54 m → N 68.172577°
W 18.366394°		 →
↑
113.59 m
↓
↑
113.59 m
↓
N 68.171555°
W 18.369140°		 ← 113.54 m →
12 898 m²		 N 68.171555°
W 18.366394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448978424072266 y=0.238033294677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448978424072266 × 217)
    floor (0.448978424072266 × 131072)
    floor (58848.5)     		tx = 58848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238033294677734 × 217)
    floor (0.238033294677734 × 131072)
    floor (31199.5)     		ty = 31199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58848 / 31199 ti = "17/58848/31199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58848/31199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58848 ÷ 217
    58848 ÷ 131072     		x = 0.448974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31199 ÷ 217
    31199 ÷ 131072     		y = 0.238029479980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.10205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32060198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238029479980469 × 2 - 1) × π
    0.523941040039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.64600932225387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32060198} λ = -0.32060198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64600932225387))-π/2
    2×atan(5.18624185546197)-π/2
    2×1.38031612246087-π/2
    2.76063224492173-1.57079632675     		φ = 1.18983592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32060198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.369140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18983592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.172577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58848 KachelY 31199 -0.32060198 1.18983592 -18.369140 68.172577
    Oben rechts KachelX + 1 58849 KachelY 31199 -0.32055405 1.18983592 -18.366394 68.172577
    Unten links KachelX 58848 KachelY + 1 31200 -0.32060198 1.18981809 -18.369140 68.171555
    Unten rechts KachelX + 1 58849 KachelY + 1 31200 -0.32055405 1.18981809 -18.366394 68.171555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18983592-1.18981809) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dl = 113.594929999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18983592-1.18981809) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dr = 113.594929999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32060198--0.32055405) × cos(1.18983592) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.371812194037036 × 6371000     		do = 113.537326349973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32060198--0.32055405) × cos(1.18981809) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.371828745709089 × 6371000     		du = 113.542380602151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18983592)-sin(1.18981809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371812194037036-0.371828745709089)×R²
    abs(-0.32055405--0.32060198)×1.65516720529446e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65516720529446e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65516720529446e-05×40589641000000     		ar = 12897.5517081621m²