Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58848 / 31072
↖ ↑ ↗
← N 68.301905°
W 18.369140°		 ← 112.90 m → N 68.301905°
W 18.366394°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
N 68.300889°
W 18.369140°		 ← 112.90 m →
12 746 m²		 N 68.300889°
W 18.366394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448978424072266 y=0.237064361572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448978424072266 × 217)
    floor (0.448978424072266 × 131072)
    floor (58848.5)     		tx = 58848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237064361572266 × 217)
    floor (0.237064361572266 × 131072)
    floor (31072.5)     		ty = 31072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58848 / 31072 ti = "17/58848/31072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58848/31072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58848 ÷ 217
    58848 ÷ 131072     		x = 0.448974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31072 ÷ 217
    31072 ÷ 131072     		y = 0.237060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.10205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32060198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237060546875 × 2 - 1) × π
    0.52587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65209730850562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32060198} λ = -0.32060198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65209730850562))-π/2
    2×atan(5.21791193024908)-π/2
    2×1.38144472310452-π/2
    2.76288944620904-1.57079632675     		φ = 1.19209312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32060198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.369140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19209312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.301905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58848 KachelY 31072 -0.32060198 1.19209312 -18.369140 68.301905
    Oben rechts KachelX + 1 58849 KachelY 31072 -0.32055405 1.19209312 -18.366394 68.301905
    Unten links KachelX 58848 KachelY + 1 31073 -0.32060198 1.19207540 -18.369140 68.300889
    Unten rechts KachelX + 1 58849 KachelY + 1 31073 -0.32055405 1.19207540 -18.366394 68.300889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19209312-1.19207540) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19209312-1.19207540) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32060198--0.32055405) × cos(1.19209312) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369715871877928 × 6371000     		do = 112.897189159933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32060198--0.32055405) × cos(1.19207540) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369732336266832 × 6371000     		du = 112.902216759152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19209312)-sin(1.19207540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369715871877928-0.369732336266832)×R²
    abs(-0.32055405--0.32060198)×1.64643889039584e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64643889039584e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64643889039584e-05×40589641000000     		ar = 12745.7126143143m²