Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58847 / 31070
↖ ↑ ↗
← N 68.303935°
W 18.371887°		 ← 112.91 m → N 68.303935°
W 18.369140°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
N 68.302920°
W 18.371887°		 ← 112.92 m →
12 747 m²		 N 68.302920°
W 18.369140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448970794677734 y=0.237049102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448970794677734 × 217)
    floor (0.448970794677734 × 131072)
    floor (58847.5)     		tx = 58847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237049102783203 × 217)
    floor (0.237049102783203 × 131072)
    floor (31070.5)     		ty = 31070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58847 / 31070 ti = "17/58847/31070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58847/31070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58847 ÷ 217
    58847 ÷ 131072     		x = 0.448966979980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31070 ÷ 217
    31070 ÷ 131072     		y = 0.237045288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448966979980469 × 2 - 1) × π
    -0.102066040039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32064992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237045288085938 × 2 - 1) × π
    0.525909423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.65219318230486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32064992} λ = -0.32064992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65219318230486))-π/2
    2×atan(5.21841221527166)-π/2
    2×1.38146244534781-π/2
    2.76292489069563-1.57079632675     		φ = 1.19212856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32064992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.371887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19212856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.303935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58847 KachelY 31070 -0.32064992 1.19212856 -18.371887 68.303935
    Oben rechts KachelX + 1 58848 KachelY 31070 -0.32060198 1.19212856 -18.369140 68.303935
    Unten links KachelX 58847 KachelY + 1 31071 -0.32064992 1.19211084 -18.371887 68.302920
    Unten rechts KachelX + 1 58848 KachelY + 1 31071 -0.32060198 1.19211084 -18.369140 68.302920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19212856-1.19211084) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19212856-1.19211084) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32064992--0.32060198) × cos(1.19212856) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369682942751855 × 6371000     		do = 112.910686355289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32064992--0.32060198) × cos(1.19211084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369699407372934 × 6371000     		du = 112.915715074366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19212856)-sin(1.19211084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369682942751855-0.369699407372934)×R²
    abs(-0.32060198--0.32064992)×1.64646210791264e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64646210791264e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64646210791264e-05×40589641000000     		ar = 12747.2364313664m²