Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58846 / 31071
↖ ↑ ↗
← N 68.302920°
W 18.374634°		 ← 112.92 m → N 68.302920°
W 18.371887°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
N 68.301905°
W 18.374634°		 ← 112.92 m →
12 748 m²		 N 68.301905°
W 18.371887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448963165283203 y=0.237056732177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448963165283203 × 217)
    floor (0.448963165283203 × 131072)
    floor (58846.5)     		tx = 58846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237056732177734 × 217)
    floor (0.237056732177734 × 131072)
    floor (31071.5)     		ty = 31071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58846 / 31071 ti = "17/58846/31071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58846/31071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58846 ÷ 217
    58846 ÷ 131072     		x = 0.448959350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31071 ÷ 217
    31071 ÷ 131072     		y = 0.237052917480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448959350585938 × 2 - 1) × π
    -0.102081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32069786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237052917480469 × 2 - 1) × π
    0.525894165039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.65214524540524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32069786} λ = -0.32069786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65214524540524))-π/2
    2×atan(5.21816206676484)-π/2
    2×1.38145358442351-π/2
    2.76290716884701-1.57079632675     		φ = 1.19211084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32069786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.374634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19211084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.302920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58846 KachelY 31071 -0.32069786 1.19211084 -18.374634 68.302920
    Oben rechts KachelX + 1 58847 KachelY 31071 -0.32064992 1.19211084 -18.371887 68.302920
    Unten links KachelX 58846 KachelY + 1 31072 -0.32069786 1.19209312 -18.374634 68.301905
    Unten rechts KachelX + 1 58847 KachelY + 1 31072 -0.32064992 1.19209312 -18.371887 68.301905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19211084-1.19209312) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19211084-1.19209312) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32069786--0.32064992) × cos(1.19211084) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.369699407372934 × 6371000     		do = 112.915715074497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32069786--0.32064992) × cos(1.19209312) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.369715871877928 × 6371000     		du = 112.920743758118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19211084)-sin(1.19209312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369699407372934-0.369715871877928)×R²
    abs(-0.32064992--0.32069786)×1.64645049940959e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.64645049940959e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.64645049940959e-05×40589641000000     		ar = 12747.804142214m²