Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58845 / 31141
↖ ↑ ↗
← N 68.231730°
W 18.377381°		 ← 113.27 m → N 68.231730°
W 18.374634°		 →
↑
113.28 m
↓
↑
113.28 m
↓
N 68.230712°
W 18.377381°		 ← 113.27 m →
12 831 m²		 N 68.230712°
W 18.374634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448955535888672 y=0.237590789794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448955535888672 × 217)
    floor (0.448955535888672 × 131072)
    floor (58845.5)     		tx = 58845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237590789794922 × 217)
    floor (0.237590789794922 × 131072)
    floor (31141.5)     		ty = 31141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58845 / 31141 ti = "17/58845/31141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58845/31141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58845 ÷ 217
    58845 ÷ 131072     		x = 0.448951721191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31141 ÷ 217
    31141 ÷ 131072     		y = 0.237586975097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448951721191406 × 2 - 1) × π
    -0.102096557617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.32074580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237586975097656 × 2 - 1) × π
    0.524826049804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.64878966243183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32074580} λ = -0.32074580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64878966243183))-π/2
    2×atan(5.20068143623679)-π/2
    2×1.38083233809634-π/2
    2.76166467619267-1.57079632675     		φ = 1.19086835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32074580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.377381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19086835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.231730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58845 KachelY 31141 -0.32074580 1.19086835 -18.377381 68.231730
    Oben rechts KachelX + 1 58846 KachelY 31141 -0.32069786 1.19086835 -18.374634 68.231730
    Unten links KachelX 58845 KachelY + 1 31142 -0.32074580 1.19085057 -18.377381 68.230712
    Unten rechts KachelX + 1 58846 KachelY + 1 31142 -0.32069786 1.19085057 -18.374634 68.230712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19086835-1.19085057) × R
    1.77799999998562e-05 × 6371000     		dl = 113.276379999084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19086835-1.19085057) × R
    1.77799999998562e-05 × 6371000     		dr = 113.276379999084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32074580--0.32069786) × cos(1.19086835) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.370853583047475 × 6371000     		do = 113.268230033983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32074580--0.32069786) × cos(1.19085057) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.370870095121023 × 6371000     		du = 113.273273246266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19086835)-sin(1.19085057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370853583047475-0.370870095121023)×R²
    abs(-0.32069786--0.32074580)×1.65120735486357e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.65120735486357e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.65120735486357e-05×40589641000000     		ar = 12830.9007058295m²