Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58843 / 45971
↖ ↑ ↗
← N 47.243814°
W 18.382874°		 ← 207.35 m → N 47.243814°
W 18.380127°		 →
↑
207.38 m
↓
↑
207.38 m
↓
N 47.241949°
W 18.382874°		 ← 207.35 m →
43 000 m²		 N 47.241949°
W 18.380127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448940277099609 y=0.350734710693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448940277099609 × 217)
    floor (0.448940277099609 × 131072)
    floor (58843.5)     		tx = 58843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350734710693359 × 217)
    floor (0.350734710693359 × 131072)
    floor (45971.5)     		ty = 45971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58843 / 45971 ti = "17/58843/45971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58843/45971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58843 ÷ 217
    58843 ÷ 131072     		x = 0.448936462402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45971 ÷ 217
    45971 ÷ 131072     		y = 0.350730895996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448936462402344 × 2 - 1) × π
    -0.102127075195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.32084167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350730895996094 × 2 - 1) × π
    0.298538208007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.937885441066399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32084167} λ = -0.32084167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937885441066399))-π/2
    2×atan(2.55457390601793)-π/2
    2×1.19767821137472-π/2
    2.39535642274944-1.57079632675     		φ = 0.82456010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32084167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.382874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82456010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.243814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58843 KachelY 45971 -0.32084167 0.82456010 -18.382874 47.243814
    Oben rechts KachelX + 1 58844 KachelY 45971 -0.32079373 0.82456010 -18.380127 47.243814
    Unten links KachelX 58843 KachelY + 1 45972 -0.32084167 0.82452755 -18.382874 47.241949
    Unten rechts KachelX + 1 58844 KachelY + 1 45972 -0.32079373 0.82452755 -18.380127 47.241949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82456010-0.82452755) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dl = 207.376050000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82456010-0.82452755) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dr = 207.376050000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32084167--0.32079373) × cos(0.82456010) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.678880027528369 × 6371000     		do = 207.347434779176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32084167--0.32079373) × cos(0.82452755) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.678903926980642 × 6371000     		du = 207.354734287073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82456010)-sin(0.82452755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678880027528369-0.678903926980642)×R²
    abs(-0.32079373--0.32084167)×2.38994522732128e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38994522732128e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38994522732128e-05×40589641000000     		ar = 42999.6488774086m²