Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58841 / 45974
↖ ↑ ↗
← N 47.238219°
W 18.388367°		 ← 207.33 m → N 47.238219°
W 18.385620°		 →
↑
207.38 m
↓
↑
207.38 m
↓
N 47.236354°
W 18.388367°		 ← 207.33 m →
42 995 m²		 N 47.236354°
W 18.385620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448925018310547 y=0.350757598876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448925018310547 × 217)
    floor (0.448925018310547 × 131072)
    floor (58841.5)     		tx = 58841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350757598876953 × 217)
    floor (0.350757598876953 × 131072)
    floor (45974.5)     		ty = 45974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58841 / 45974 ti = "17/58841/45974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58841/45974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58841 ÷ 217
    58841 ÷ 131072     		x = 0.448921203613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45974 ÷ 217
    45974 ÷ 131072     		y = 0.350753784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448921203613281 × 2 - 1) × π
    -0.102157592773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32093754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350753784179688 × 2 - 1) × π
    0.298492431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.937741630367538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32093754} λ = -0.32093754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937741630367538))-π/2
    2×atan(2.55420655737419)-π/2
    2×1.19762939369163-π/2
    2.39525878738326-1.57079632675     		φ = 0.82446246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32093754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.388367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82446246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.238219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58841 KachelY 45974 -0.32093754 0.82446246 -18.388367 47.238219
    Oben rechts KachelX + 1 58842 KachelY 45974 -0.32088961 0.82446246 -18.385620 47.238219
    Unten links KachelX 58841 KachelY + 1 45975 -0.32093754 0.82442991 -18.388367 47.236354
    Unten rechts KachelX + 1 58842 KachelY + 1 45975 -0.32088961 0.82442991 -18.385620 47.236354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82446246-0.82442991) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dl = 207.376050000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82446246-0.82442991) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dr = 207.376050000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32093754--0.32088961) × cos(0.82446246) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.678951716385432 × 6371000     		do = 207.326074387567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32093754--0.32088961) × cos(0.82442991) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.678975613679949 × 6371000     		du = 207.333371713932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82446246)-sin(0.82442991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678951716385432-0.678975613679949)×R²
    abs(-0.32088961--0.32093754)×2.38972945169058e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38972945169058e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38972945169058e-05×40589641000000     		ar = 42995.219017651m²