Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58840 / 45414
↖ ↑ ↗
← N 48.272225°
W 18.391113°		 ← 203.29 m → N 48.272225°
W 18.388367°		 →
↑
203.30 m
↓
↑
203.30 m
↓
N 48.270397°
W 18.391113°		 ← 203.30 m →
41 329 m²		 N 48.270397°
W 18.388367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448917388916016 y=0.346485137939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448917388916016 × 217)
    floor (0.448917388916016 × 131072)
    floor (58840.5)     		tx = 58840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346485137939453 × 217)
    floor (0.346485137939453 × 131072)
    floor (45414.5)     		ty = 45414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58840 / 45414 ti = "17/58840/45414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58840/45414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58840 ÷ 217
    58840 ÷ 131072     		x = 0.44891357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45414 ÷ 217
    45414 ÷ 131072     		y = 0.346481323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44891357421875 × 2 - 1) × π
    -0.1021728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32098548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346481323242188 × 2 - 1) × π
    0.307037353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.96458629415477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32098548} λ = -0.32098548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96458629415477))-π/2
    2×atan(2.62370199106715)-π/2
    2×1.20665279908079-π/2
    2.41330559816158-1.57079632675     		φ = 0.84250927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32098548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.391113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84250927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.272225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58840 KachelY 45414 -0.32098548 0.84250927 -18.391113 48.272225
    Oben rechts KachelX + 1 58841 KachelY 45414 -0.32093754 0.84250927 -18.388367 48.272225
    Unten links KachelX 58840 KachelY + 1 45415 -0.32098548 0.84247736 -18.391113 48.270397
    Unten rechts KachelX + 1 58841 KachelY + 1 45415 -0.32093754 0.84247736 -18.388367 48.270397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84250927-0.84247736) × R
    3.19100000000239e-05 × 6371000     		dl = 203.298610000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84250927-0.84247736) × R
    3.19100000000239e-05 × 6371000     		dr = 203.298610000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32098548--0.32093754) × cos(0.84250927) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665592215843127 × 6371000     		do = 203.288995061993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32098548--0.32093754) × cos(0.84247736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665616030435636 × 6371000     		du = 203.296268651533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84250927)-sin(0.84247736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665592215843127-0.665616030435636)×R²
    abs(-0.32093754--0.32098548)×2.38145925088862e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38145925088862e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38145925088862e-05×40589641000000     		ar = 41329.1094833892m²