Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5884 / 6900
↖ ↑ ↗
← N 27.293689°
W 50.712890°		 ← 2 171.21 m → N 27.293689°
W 50.690918°		 →
↑
2 171.43 m
↓
↑
2 171.43 m
↓
N 27.274161°
W 50.712890°		 ← 2 171.59 m →
4 715 032 m²		 N 27.274161°
W 50.690918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359161376953125 y=0.421173095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359161376953125 × 214)
    floor (0.359161376953125 × 16384)
    floor (5884.5)     		tx = 5884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421173095703125 × 214)
    floor (0.421173095703125 × 16384)
    floor (6900.5)     		ty = 6900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5884 / 6900 ti = "14/5884/6900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5884/6900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5884 ÷ 214
    5884 ÷ 16384     		x = 0.359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6900 ÷ 214
    6900 ÷ 16384     		y = 0.421142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.28173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88510691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421142578125 × 2 - 1) × π
    0.15771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.4954757944729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88510691} λ = -0.88510691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4954757944729))-π/2
    2×atan(1.64127896476975)-π/2
    2×1.02358053438604-π/2
    2.04716106877208-1.57079632675     		φ = 0.47636474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88510691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.712890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47636474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.293689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5884 KachelY 6900 -0.88510691 0.47636474 -50.712890 27.293689
    Oben rechts KachelX + 1 5885 KachelY 6900 -0.88472342 0.47636474 -50.690918 27.293689
    Unten links KachelX 5884 KachelY + 1 6901 -0.88510691 0.47602391 -50.712890 27.274161
    Unten rechts KachelX + 1 5885 KachelY + 1 6901 -0.88472342 0.47602391 -50.690918 27.274161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47636474-0.47602391) × R
    0.000340830000000014 × 6371000     		dl = 2171.42793000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47636474-0.47602391) × R
    0.000340830000000014 × 6371000     		dr = 2171.42793000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88510691--0.88472342) × cos(0.47636474) × R
    0.000383489999999931 × 0.888667745584006 × 6371000     		do = 2171.20617940641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88510691--0.88472342) × cos(0.47602391) × R
    0.000383489999999931 × 0.888823982132031 × 6371000     		du = 2171.58789885128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47636474)-sin(0.47602391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888667745584006-0.888823982132031)×R²
    abs(-0.88472342--0.88510691)×0.000156236548025768×R²
    0.000383489999999931×0.000156236548025768×6371000²
    0.000383489999999931×0.000156236548025768×40589641000000     		ar = 4715032.22352699m²