Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58838 / 31194
↖ ↑ ↗
← N 68.177682°
W 18.396606°		 ← 113.51 m → N 68.177682°
W 18.393860°		 →
↑
113.53 m
↓
↑
113.53 m
↓
N 68.176661°
W 18.396606°		 ← 113.52 m →
12 887 m²		 N 68.176661°
W 18.393860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448902130126953 y=0.237995147705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448902130126953 × 217)
    floor (0.448902130126953 × 131072)
    floor (58838.5)     		tx = 58838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237995147705078 × 217)
    floor (0.237995147705078 × 131072)
    floor (31194.5)     		ty = 31194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58838 / 31194 ti = "17/58838/31194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58838/31194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58838 ÷ 217
    58838 ÷ 131072     		x = 0.448898315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31194 ÷ 217
    31194 ÷ 131072     		y = 0.237991333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448898315429688 × 2 - 1) × π
    -0.102203369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32108135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237991333007812 × 2 - 1) × π
    0.524017333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64624900675197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32108135} λ = -0.32108135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64624900675197))-π/2
    2×atan(5.18748506622135)-π/2
    2×1.38036067631375-π/2
    2.7607213526275-1.57079632675     		φ = 1.18992503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32108135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.396606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18992503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.177682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58838 KachelY 31194 -0.32108135 1.18992503 -18.396606 68.177682
    Oben rechts KachelX + 1 58839 KachelY 31194 -0.32103342 1.18992503 -18.393860 68.177682
    Unten links KachelX 58838 KachelY + 1 31195 -0.32108135 1.18990721 -18.396606 68.176661
    Unten rechts KachelX + 1 58839 KachelY + 1 31195 -0.32103342 1.18990721 -18.393860 68.176661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18992503-1.18990721) × R
    1.78199999998352e-05 × 6371000     		dl = 113.53121999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18992503-1.18990721) × R
    1.78199999998352e-05 × 6371000     		dr = 113.53121999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32108135--0.32103342) × cos(1.18992503) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.371729471037485 × 6371000     		do = 113.512065886771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32108135--0.32103342) × cos(1.18990721) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.371746014016888 × 6371000     		du = 113.517117484543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18992503)-sin(1.18990721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371729471037485-0.371746014016888)×R²
    abs(-0.32103342--0.32108135)×1.65429794023453e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.65429794023453e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.65429794023453e-05×40589641000000     		ar = 12887.4500820994m²