Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58837 / 39445
↖ ↑ ↗
← N 58.047365°
W 18.399353°		 ← 161.64 m → N 58.047365°
W 18.396606°		 →
↑
161.63 m
↓
↑
161.63 m
↓
N 58.045911°
W 18.399353°		 ← 161.64 m →
26 126 m²		 N 58.045911°
W 18.396606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448894500732422 y=0.300945281982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448894500732422 × 217)
    floor (0.448894500732422 × 131072)
    floor (58837.5)     		tx = 58837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300945281982422 × 217)
    floor (0.300945281982422 × 131072)
    floor (39445.5)     		ty = 39445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58837 / 39445 ti = "17/58837/39445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58837/39445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58837 ÷ 217
    58837 ÷ 131072     		x = 0.448890686035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39445 ÷ 217
    39445 ÷ 131072     		y = 0.300941467285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448890686035156 × 2 - 1) × π
    -0.102218627929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32112929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300941467285156 × 2 - 1) × π
    0.398117065429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.25072164798689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32112929} λ = -0.32112929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25072164798689))-π/2
    2×atan(3.4928626654924)-π/2
    2×1.29195698360204-π/2
    2.58391396720407-1.57079632675     		φ = 1.01311764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32112929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.399353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01311764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.047365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58837 KachelY 39445 -0.32112929 1.01311764 -18.399353 58.047365
    Oben rechts KachelX + 1 58838 KachelY 39445 -0.32108135 1.01311764 -18.396606 58.047365
    Unten links KachelX 58837 KachelY + 1 39446 -0.32112929 1.01309227 -18.399353 58.045911
    Unten rechts KachelX + 1 58838 KachelY + 1 39446 -0.32108135 1.01309227 -18.396606 58.045911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01311764-1.01309227) × R
    2.53699999999135e-05 × 6371000     		dl = 161.632269999449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01311764-1.01309227) × R
    2.53699999999135e-05 × 6371000     		dr = 161.632269999449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32112929--0.32108135) × cos(1.01311764) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.529218024063453 × 6371000     		do = 161.636806620999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32112929--0.32108135) × cos(1.01309227) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.529239549979831 × 6371000     		du = 161.643381189938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01311764)-sin(1.01309227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529218024063453-0.529239549979831)×R²
    abs(-0.32108135--0.32112929)×2.15259163780512e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15259163780512e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15259163780512e-05×40589641000000     		ar = 26126.2553021296m²