Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58836 / 31192
↖ ↑ ↗
← N 68.179724°
W 18.402100°		 ← 113.53 m → N 68.179724°
W 18.399353°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
N 68.178703°
W 18.402100°		 ← 113.53 m →
12 882 m²		 N 68.178703°
W 18.399353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448886871337891 y=0.237979888916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448886871337891 × 217)
    floor (0.448886871337891 × 131072)
    floor (58836.5)     		tx = 58836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237979888916016 × 217)
    floor (0.237979888916016 × 131072)
    floor (31192.5)     		ty = 31192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58836 / 31192 ti = "17/58836/31192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58836/31192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58836 ÷ 217
    58836 ÷ 131072     		x = 0.448883056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31192 ÷ 217
    31192 ÷ 131072     		y = 0.23797607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448883056640625 × 2 - 1) × π
    -0.10223388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32117723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23797607421875 × 2 - 1) × π
    0.5240478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64634488055121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32117723} λ = -0.32117723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64634488055121))-π/2
    2×atan(5.18798243396503)-π/2
    2×1.38037849507929-π/2
    2.76075699015858-1.57079632675     		φ = 1.18996066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32117723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.402100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18996066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.179724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58836 KachelY 31192 -0.32117723 1.18996066 -18.402100 68.179724
    Oben rechts KachelX + 1 58837 KachelY 31192 -0.32112929 1.18996066 -18.399353 68.179724
    Unten links KachelX 58836 KachelY + 1 31193 -0.32117723 1.18994285 -18.402100 68.178703
    Unten rechts KachelX + 1 58837 KachelY + 1 31193 -0.32112929 1.18994285 -18.399353 68.178703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18996066-1.18994285) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dl = 113.467509999337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18996066-1.18994285) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dr = 113.467509999337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32117723--0.32112929) × cos(1.18996066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371696394008098 × 6371000     		do = 113.525646195181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32117723--0.32112929) × cos(1.18994285) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371712927940039 × 6371000     		du = 113.530696083579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18996066)-sin(1.18994285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371696394008098-0.371712927940039)×R²
    abs(-0.32112929--0.32117723)×1.65339319408431e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65339319408431e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65339319408431e-05×40589641000000     		ar = 12881.7588942639m²