Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58835 / 31193
↖ ↑ ↗
← N 68.178703°
W 18.404846°		 ← 113.51 m → N 68.178703°
W 18.402100°		 →
↑
113.53 m
↓
↑
113.53 m
↓
N 68.177682°
W 18.404846°		 ← 113.51 m →
12 887 m²		 N 68.177682°
W 18.402100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448879241943359 y=0.237987518310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448879241943359 × 217)
    floor (0.448879241943359 × 131072)
    floor (58835.5)     		tx = 58835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237987518310547 × 217)
    floor (0.237987518310547 × 131072)
    floor (31193.5)     		ty = 31193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58835 / 31193 ti = "17/58835/31193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58835/31193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58835 ÷ 217
    58835 ÷ 131072     		x = 0.448875427246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31193 ÷ 217
    31193 ÷ 131072     		y = 0.237983703613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448875427246094 × 2 - 1) × π
    -0.102249145507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32122516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237983703613281 × 2 - 1) × π
    0.524032592773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.64629694365159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32122516} λ = -0.32122516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64629694365159))-π/2
    2×atan(5.18773374413262)-π/2
    2×1.38036958589476-π/2
    2.76073917178953-1.57079632675     		φ = 1.18994285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32122516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.404846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18994285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.178703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58835 KachelY 31193 -0.32122516 1.18994285 -18.404846 68.178703
    Oben rechts KachelX + 1 58836 KachelY 31193 -0.32117723 1.18994285 -18.402100 68.178703
    Unten links KachelX 58835 KachelY + 1 31194 -0.32122516 1.18992503 -18.404846 68.177682
    Unten rechts KachelX + 1 58836 KachelY + 1 31194 -0.32117723 1.18992503 -18.402100 68.177682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18994285-1.18992503) × R
    1.78200000000572e-05 × 6371000     		dl = 113.531220000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18994285-1.18992503) × R
    1.78200000000572e-05 × 6371000     		dr = 113.531220000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32122516--0.32117723) × cos(1.18994285) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.371712927940039 × 6371000     		do = 113.507014253083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32122516--0.32117723) × cos(1.18992503) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.371729471037485 × 6371000     		du = 113.512065886902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18994285)-sin(1.18992503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371712927940039-0.371729471037485)×R²
    abs(-0.32117723--0.32122516)×1.65430974461422e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65430974461422e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65430974461422e-05×40589641000000     		ar = 12886.8765661874m²