Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58834 / 37833
↖ ↑ ↗
← N 60.314708°
W 18.407593°		 ← 151.26 m → N 60.314708°
W 18.404846°		 →
↑
151.31 m
↓
↑
151.31 m
↓
N 60.313348°
W 18.407593°		 ← 151.26 m →
22 887 m²		 N 60.313348°
W 18.404846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448871612548828 y=0.288646697998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448871612548828 × 217)
    floor (0.448871612548828 × 131072)
    floor (58834.5)     		tx = 58834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288646697998047 × 217)
    floor (0.288646697998047 × 131072)
    floor (37833.5)     		ty = 37833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58834 / 37833 ti = "17/58834/37833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58834/37833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58834 ÷ 217
    58834 ÷ 131072     		x = 0.448867797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37833 ÷ 217
    37833 ÷ 131072     		y = 0.288642883300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448867797851562 × 2 - 1) × π
    -0.102264404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32127310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288642883300781 × 2 - 1) × π
    0.422714233398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.32799593017442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32127310} λ = -0.32127310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32799593017442))-π/2
    2×atan(3.7734735004313)-π/2
    2×1.31174328602238-π/2
    2.62348657204476-1.57079632675     		φ = 1.05269025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32127310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.407593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05269025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.314708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58834 KachelY 37833 -0.32127310 1.05269025 -18.407593 60.314708
    Oben rechts KachelX + 1 58835 KachelY 37833 -0.32122516 1.05269025 -18.404846 60.314708
    Unten links KachelX 58834 KachelY + 1 37834 -0.32127310 1.05266650 -18.407593 60.313348
    Unten rechts KachelX + 1 58835 KachelY + 1 37834 -0.32122516 1.05266650 -18.404846 60.313348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05269025-1.05266650) × R
    2.37499999999891e-05 × 6371000     		dl = 151.31124999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05269025-1.05266650) × R
    2.37499999999891e-05 × 6371000     		dr = 151.31124999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32127310--0.32122516) × cos(1.05269025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.495235664803462 × 6371000     		do = 151.25771939689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32127310--0.32122516) × cos(1.05266650) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.495256297682332 × 6371000     		du = 151.264021209187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05269025)-sin(1.05266650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495235664803462-0.495256297682332)×R²
    abs(-0.32122516--0.32127310)×2.06328788699417e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.06328788699417e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.06328788699417e-05×40589641000000     		ar = 22887.471362795m²