Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58834 / 37795
↖ ↑ ↗
← N 60.366355°
W 18.407593°		 ← 151.02 m → N 60.366355°
W 18.404846°		 →
↑
150.99 m
↓
↑
150.99 m
↓
N 60.364997°
W 18.407593°		 ← 151.02 m →
22 803 m²		 N 60.364997°
W 18.404846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448871612548828 y=0.288356781005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448871612548828 × 217)
    floor (0.448871612548828 × 131072)
    floor (58834.5)     		tx = 58834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288356781005859 × 217)
    floor (0.288356781005859 × 131072)
    floor (37795.5)     		ty = 37795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58834 / 37795 ti = "17/58834/37795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58834/37795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58834 ÷ 217
    58834 ÷ 131072     		x = 0.448867797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37795 ÷ 217
    37795 ÷ 131072     		y = 0.288352966308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448867797851562 × 2 - 1) × π
    -0.102264404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32127310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288352966308594 × 2 - 1) × π
    0.423294067382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.32981753235998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32127310} λ = -0.32127310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32981753235998))-π/2
    2×atan(3.78035353244506)-π/2
    2×1.31219399042842-π/2
    2.62438798085685-1.57079632675     		φ = 1.05359165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32127310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.407593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05359165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.366355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58834 KachelY 37795 -0.32127310 1.05359165 -18.407593 60.366355
    Oben rechts KachelX + 1 58835 KachelY 37795 -0.32122516 1.05359165 -18.404846 60.366355
    Unten links KachelX 58834 KachelY + 1 37796 -0.32127310 1.05356795 -18.407593 60.364997
    Unten rechts KachelX + 1 58835 KachelY + 1 37796 -0.32122516 1.05356795 -18.404846 60.364997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05359165-1.05356795) × R
    2.37000000000709e-05 × 6371000     		dl = 150.992700000452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05359165-1.05356795) × R
    2.37000000000709e-05 × 6371000     		dr = 150.992700000452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32127310--0.32122516) × cos(1.05359165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.494452364644475 × 6371000     		do = 151.018479366189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32127310--0.32122516) × cos(1.05356795) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.494472964657661 × 6371000     		du = 151.024771140461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05359165)-sin(1.05356795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.494452364644475-0.494472964657661)×R²
    abs(-0.32122516--0.32127310)×2.06000131862116e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.06000131862116e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.06000131862116e-05×40589641000000     		ar = 22803.1629565428m²