Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58833 / 37838
↖ ↑ ↗
← N 60.307906°
W 18.410339°		 ← 151.29 m → N 60.307906°
W 18.407593°		 →
↑
151.25 m
↓
↑
151.25 m
↓
N 60.306546°
W 18.410339°		 ← 151.30 m →
22 883 m²		 N 60.306546°
W 18.407593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448863983154297 y=0.288684844970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448863983154297 × 217)
    floor (0.448863983154297 × 131072)
    floor (58833.5)     		tx = 58833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288684844970703 × 217)
    floor (0.288684844970703 × 131072)
    floor (37838.5)     		ty = 37838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58833 / 37838 ti = "17/58833/37838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58833/37838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58833 ÷ 217
    58833 ÷ 131072     		x = 0.448860168457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37838 ÷ 217
    37838 ÷ 131072     		y = 0.288681030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448860168457031 × 2 - 1) × π
    -0.102279663085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32132104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288681030273438 × 2 - 1) × π
    0.422637939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.32775624567632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32132104} λ = -0.32132104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32775624567632))-π/2
    2×atan(3.77256916571109)-π/2
    2×1.31168392968653-π/2
    2.62336785937307-1.57079632675     		φ = 1.05257153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32132104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.410339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05257153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.307906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58833 KachelY 37838 -0.32132104 1.05257153 -18.410339 60.307906
    Oben rechts KachelX + 1 58834 KachelY 37838 -0.32127310 1.05257153 -18.407593 60.307906
    Unten links KachelX 58833 KachelY + 1 37839 -0.32132104 1.05254779 -18.410339 60.306546
    Unten rechts KachelX + 1 58834 KachelY + 1 37839 -0.32127310 1.05254779 -18.407593 60.306546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05257153-1.05254779) × R
    2.37400000000498e-05 × 6371000     		dl = 151.247540000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05257153-1.05254779) × R
    2.37400000000498e-05 × 6371000     		dr = 151.247540000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32132104--0.32127310) × cos(1.05257153) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.495338800343144 × 6371000     		do = 151.289219645593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32132104--0.32127310) × cos(1.05254779) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.495359423138592 × 6371000     		du = 151.295518378153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05257153)-sin(1.05254779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495338800343144-0.495359423138592)×R²
    abs(-0.32127310--0.32132104)×2.06227954478999e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.06227954478999e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.06227954478999e-05×40589641000000     		ar = 22882.5986349875m²